¿Cuál es el cambio en la magnitud del vector cuando se gira en el ángulo theta?

La rotación es un tipo de isometría.

Las isometrías son operadores que , en un espacio vectorial hilbert o prehilbertiano (es decir, espacio vectorial con un producto interno que es una forma simétrica bilineal positiva), no cambian la norma de los vectores (de hecho, tampoco cambian el producto escalar )

Otras isometrías son simetrías con respecto a un (hiper) plano, y traducciones. (Aunque las traducciones no son realmente lineales, en eso [matemáticas] t (\ vec {0}) \ neq \ vec {0} [/ matemáticas]).

En el espacio vectorial real [math] (\ mathbb {R} ^ 2, +,.) [/ Math] con la norma euclidiana clásica, una rotación alrededor del origen puede representarse mediante una matriz:

[matemáticas] R _ {\ theta} = \ left (\ begin {array} \ cos (\ theta) & – \ sin (\ theta) \\ \ sin (\ theta) & \ cos (\ theta) \ end {array } \ right) [/ math]

Su determinante es [matemáticas] \ cos ^ 2 (\ theta) + \ sin ^ 2 (\ theta) = 1 [/ matemáticas]

¡Y su inverso es su transposición! ([math] \ cos [/ math] es una función par, y [math] \ sin [/ math] es impar).

También se denominan operadores ortogonales, elementos del grupo ortogonal especial [matemática] SO (2) [/ matemática] (en el caso de un plano 2D).