¿Es posible dividir dos vectores?

En general, no.

La multiplicación y la división son operaciones inversas: usted dice [matemáticas] \ frac {a} {b} = ab ^ {- 1} = c [/ matemáticas] si [matemáticas] a = cb [/ matemáticas]. El problema es que hay múltiples formas de “multiplicar” vectores (los productos de puntos y cruzados son de dos formas), y en muchos casos estos no tienen inversos.

Por ejemplo, tome el producto punto: el primer problema es que el producto punto de dos vectores es un escalar, por lo que la operación inversa tomaría un escalar y un vector, no dos vectores. El segundo problema es que es posible tener [matemáticas] \ vec {a} \ cdot \ vec {b} = \ vec {a} \ cdot \ vec {c}, \ vec {b} \ neq \ vec {c } [/ math], que también dificulta la definición de una operación inversa.

El producto cruzado no tiene el primer problema, pero lo reemplaza por falta de comunicación: [matemáticas] \ vec {a} \ times \ vec {b} \ neq \ vec {b} \ times \ vec {a} [ /matemáticas]. Esto significa que podría haber diferentes inversas izquierda y derecha. Esto se puede solucionar, pero no es lo que la mayoría de la gente piensa como división. Ciertamente, la notación [matemáticas] \ frac {\ vec {a}} {\ vec {b}} [/ matemáticas] no lo contempla. Sin embargo, el producto cruzado todavía tiene otros problemas. Primero, solo se define en 3 dimensiones, por lo que limita su generalidad. En segundo lugar, tiene el mismo “segundo problema” de no unicidad que el producto punto.

Eso no significa que no se pueda definir un producto en vectores que permita la división, pero no es lo normal. Como ejemplo de lo que puede hacer, el “Álgebra geométrica”, basado en Clifford Algebra, utiliza un producto de punto conmutativo y un “producto de cuña” anticomutativo. El producto de cuña de dos vectores da un segmento de área dirigida, y el producto de cuña de un vector y un segmento de área dirigida da un segmento de volumen dirigido, y así sucesivamente. Un producto completo de dos vectores da un objeto de “grado mixto”: [matemáticas] \ vec {a} \ vec {b} = \ vec {a} \ wedge \ vec {b} + \ vec {a} \ cdot \ vec {b} [/ math], el producto de la cuña es de grado 2, los vectores son de grado 1 y el producto escalar de puntos es de grado 0. Es posible encontrar inversos multiplicativos para muchos elementos de álgebra geométrica ( pero no todos), entonces la división (en el sentido de multiplicación por un inverso) es posible. Pero el álgebra geométrica probablemente esté lejos de lo que le han enseñado acerca de los vectores.

Sí, lo es, de varias maneras relacionadas.

Una de las formas con las que estoy familiarizado se llama álgebra geométrica.

Deje que [math] \ mathbf {U} [/ math] y [math] \ mathbf {V} [/ math] sean dos vectores.

Sin intentar describir el álgebra completa, la idea es que el producto de dos vectores es:

[math] \ mathbf {U} \ wedge \ mathbf {V} + \ mathbf {U} \ cdot \ mathbf {V} [/ math]

[math] \ wedge [/ math] es otro operador binario que nos da el paralelogramo delimitado por [math] \ mathbf {U} [/ math] y [math] \ mathbf {V} [/ math], con la restricción de que [math] \ mathbf {U} \ wedge \ mathbf {V} = – \ mathbf {V} \ wedge \ mathbf {U} [/ math].

Esto es, sin duda, misterioso, pero la razón de esto está más allá del alcance de esta respuesta. Para su información, se relaciona con el producto cruzado en que el producto cruzado se obtiene al encontrar la normal en la superficie del paralelogramo y multiplicarlo por el área del paralelogramo.

Este es un ejemplo de tomar algo llamado Hodge Dual.

Si desea obtener más información sobre el producto geométrico, consulte

Álgebra de Clifford: una introducción visual

http://www.jaapsuter.com/geometr

y mi propio enchufe descarado,

Una guía de inicio rápido para el producto geométrico: una perspectiva para principiantes Parte I

De todos modos, es suficiente decir que, en este álgebra, si [math] \ mathbf {V} [/ math] es un vector, entonces,

[matemáticas] V ^ 2 = | V | ^ 2 [/ matemáticas]

De modo que [matemática] V \ izquierda (\ frac {V} {| V | ^ 2} \ derecha) = 1 [/ matemática].

Entonces, eso significa que divide entre [math] \ mathbf {V} [/ math], al multiplicar por [math] \ frac {V} {| V | ^ 2} [/ math].

Sí, es posible, pero debe trabajar con cuatro vectores y no solo con los vectores clásicos en 3D.

Me pregunto por qué necesitas dividir dos vectores; pero permítame darle un ejemplo donde la división podría ser útil: supongamos que ha calculado el producto [math] \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = \ mathbf {c} [/ math] y desea para recuperar [math] \ mathbf {b} [/ math] con el uso de [math] \ mathbf {a} [/ math] y [math] \ mathbf {c} [/ math]. Con los vectores 3D no puede hacerlo, pero con cuatro vectores simplemente calcula: [math] \ mathbf {b} = \ mathbf {\ overline {a}} ^ {- 1} * \ mathbf {c} [/ math] . La barra superior significa conjugado y el exponencial negativo es el inverso o lo que podría llamarse división vectorial. El producto de cuatro vectores se define como [matemática] c = [a_0 b_0 + a_v \ cdot b_v, a_0 b_v – b_0 a_v + a_v \ veces b_v] [/ matemática], donde [matemática] a_0 [/ matemática] y [matemática ] b_0 [/ math] representa la primera coordenada de los vectores [math] \ mathbf {a} [/ math] y [math] \ mathbf {b} [/ math], respectivamente, y [math] a_v [/ math] y [math] b_v [/ math] representan el vector 3D restante. [math] \ cdot [/ math] y [math] \ times [/ math] son ​​los productos clásicos de punto y cruz.

Por ejemplo, consideremos el vector 3D [math] \ mathbf {a} = (2, 3, 5) [/ math], entonces el mismo vector, pero representado como cuatro vectores, es [math] \ mathbf {a } = (0, 2, 3, 5) [/ matemáticas]. Supongamos que el vector [math] \ mathbf {b} = (0, -1, 1, 4) [/ math]. Entonces, el resultado del producto [math] \ mathbf {c} = \ mathbf {a} * \ mathbf {b} [/ math] es [math] \ mathbf {c} = (21, 7, -13, 5 )[/matemáticas]. Observe que, en este caso, los últimos tres números representan el producto vectorial o cruzado, y el primer número es el producto escalar de los vectores originales.

Ahora, para recuperar [math] \ mathbf {b} = \ mathbf {\ overline {a}} ^ {- 1} * \ mathbf {c} [/ math], calculemos primero el conjugado de [math] \ mathbf {a} [/ math], que es lo mismo [math] \ mathbf {a} [/ math] pero con el negativo de la parte del vector: [math] \ overline {a} = (0, -2, -3, -5) [/ matemáticas].

Luego, calcule el inverso de este, que es el mismo vector, excepto el dividido por el escalar obtenido sumando los cuadrados de todos los elementos: [matemática] \ overline {a} ^ {- 1} = \ frac {1} {38} (0, -2, -3, -5) [/ matemáticas].

Finalmente, multiplique esto por [math] \ mathbf {c} [/ math], con lo cual recupera [math] \ mathbf {b} [/ math].

No, sin embargo, sus magnitudes se pueden dividir. La presión es uno de esos ejemplos.

[matemáticas] P = \ dfrac {| \ overrightarrowF |} {| \ overrightarrowA |} [/ math]

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