El caso más simple al que podemos llegar es dos líneas a través del origen O, una a través de P [matemática] (a, b) [/ matemática] y otra a través de Q [matemática] (c, d) [/ matemática].
Los ángulos donde las líneas se encuentran serán ángulos rectos en el origen cuando POQ es un triángulo rectángulo, [matemática] OP ^ 2 + OQ ^ 2 = PQ ^ 2. [/ Matemática] Cada una de las longitudes al cuadrado viene dada por su aplicación del teorema de Pitágoras.
[matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2) + (c ^ 2 + d ^ 2) = (a – c) ^ 2 + (b – d) ^ 2 [/ matemáticas]
- Dado un conjunto de dos vectores, ¿por qué ser paralelo también significa que son linealmente dependientes?
- Dado que ayb son vectores con [math] | a + b | = 5 [/ math] y [math] | ab | = 1 [/ math], ¿qué es [math] a \ cdot b [/ math]?
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[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = a ^ 2 – 2ac + c ^ 2 + b ^ 2 – 2bd + d ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] ac + bd = 0 [/ matemáticas]
Entonces el Teorema de Pitágoras nos dice que tenemos perpendicularidad precisamente cuando tenemos un producto de punto cero .
Esto, naturalmente, conduce al producto escalar, adecuadamente normalizado, como una medida angular. Entre dos líneas a través del origen, la perpendicular es tan “lejana” como pueden llegar las líneas, así que asignemos nuestra medida máxima, 1, a las líneas perpendiculares. Sobre la forma más simple que podemos escribir es
[matemáticas] s (P, Q) = 1 – \ dfrac {(P \ cdot Q) ^ 2} {f} [/ matemáticas]
[matemáticas] s ((a, b), (c, d)) = 1 – \ dfrac {(ac + bd) ^ 2} {f} [/ matemáticas]
Lo diseñamos para que [math] s [/ math] sea [math] 1 [/ math] si los puntos están en líneas perpendiculares a través del origen debido al producto de punto cero. Necesitamos establecer nuestro factor de normalización [math] f [/ math] de modo que las líneas coincidentes den [math] s = 0: [/ math]
[matemáticas] 0 = s ((a, b), (ka, kb)) = 1 – \ dfrac {(a (ka) + b (kb)) ^ 2} {f} [/ matemáticas]
[matemáticas] f = k ^ 2 (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ((ka) ^ 2 + (kb) ^ 2) [/ matemáticas]
Está bastante claro que en general [math] f [/ math] es el producto de la suma de cuadrados de los dos puntos:
[matemáticas] S ((a, b), (c, d)) = 1 – \ dfrac {(ac + bd) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) }[/matemáticas]
Vamos a resolver esto. Podemos hacer el álgebra, o simplemente recordar la identidad de Fibonacci. Lo sabemos porque la magnitud del producto de dos números complejos es igual al producto de las magnitudes:
[matemáticas] | (a-bi) (c + di) | ^ 2 = | a-bi | ^ 2 | c + di | ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (ac + bd) ^ 2 + (ad – bc) ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {(ac + bd) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)} + \ dfrac {(ad-bc) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] S ((a, b), (c, d)) = \ dfrac {(ad-bc) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)} [ /matemáticas]
Está el producto cruzado en el numerador. No me gusta cuando las matemáticas se leen como un misterio, pero hemos llegado a la respuesta. Si llamamos [math] \ theta [/ math] a cualquiera de los ángulos entre las dos líneas, la forma con el producto cruzado da [math] S: [/ math]
[matemáticas] \ sin ^ 2 \ theta = \ dfrac {(ad-bc) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)} [/ matemáticas]
El formulario con el producto punto da [matemática] 1-S [/ matemática]:
[matemáticas] \ cos ^ 2 \ theta = \ dfrac {(ac + bd) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)} [/ matemáticas]
Vemos [math] \ cos ^ 2 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta = 1 [/ math] tal como debería.
Estos son quizás los más fáciles de ver si establecemos una de nuestras líneas en el eje [math] x [/ math]:
[matemáticas] S ((a, b), (1,0)) = \ dfrac {(-b) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (1 + 0)} = \ dfrac {b ^ 2} {a ^ 2 + b ^ 2} = \ dfrac {\ textrm {opuesto} ^ 2} {\ textrm {hipotenusa} ^ 2} = \ sin ^ 2 \ theta [/ matemática]
[matemáticas] 1- S ((a, b), (1,0)) = \ dfrac {a ^ 2} {a ^ 2 + b ^ 2} = \ dfrac {\ textrm {adyacente} ^ 2} {\ textrm {hipotenusa} ^ 2} = \ cos ^ 2 \ theta [/ math]