Si para calcular una superficie normal a una superficie parametrizada necesita el producto cruzado, ¿cómo calcula la normal en dimensiones donde el producto cruzado no existe, como dim = 4?

Answer 1

Si para calcular una superficie normal a una superficie parametrizada necesita el producto cruzado, ¿cómo calcula la normal en dimensiones donde el producto cruzado no existe, como dim = 4?

Permítanme repetir aquí mi respuesta a ¿Qué es un espacio vectorial?

Los matemáticos actuales no han sido capaces de encontrar un producto vectorial n-dimensional (Nd) apropiado, pero eso no significa que tal cosa no exista.

De hecho, se puede demostrar que existen productos vectoriales para dimensiones n = 4, n = 8, n = 16, etc. , que se pueden aplicar para calcular productos vectoriales para dos vectores de dimensiones arbitrarias.

Incluso los matemáticos con un doctorado en Matemáticas te dirán que en 3D existe el producto cruzado, pero no hay nada como el producto cruzado en otras dimensiones (excepto en la dimensión 1 y, sorprendentemente, la dimensión 7) .

Pertti Lounesto, fue uno de los grandes matemáticos que estudió el problema de los productos cruzados en n dimensiones. Explicó: Hay un producto cruzado de dos vectores, que satisface todos los supuestos habituales, solo en las dimensiones 3 y 7 , y también: ¿ una respuesta a la pregunta en qué dimensiones hay una generalización del producto cruzado? es que hay productos cruzados en

3 dimensiones con 2 factores

7 dimensiones con 2 factores

n dimensiones con factores n-1

8 dimensiones con 3 factores

y no otros

Esto es falso o engañoso. Examinemos un ejemplo particular del producto vectorial Nd, para los siguientes dos vectores 5 arbitrarios, cuyo producto vectorial resultante aparece en un espacio de 8 dimensiones:

Dejar

a = {0, a1, a2, a3, a4, a5, 0, 0};

b = {0, b1, b2, b3, b4, b5, 0, 0};

[matemáticas] w = P8 [a, b] [/ matemáticas] <== Aquí, aplique el producto de 8 vectores, que es un poco largo para que se muestre en esta nota.

El vector resultante, w, aparece en un espacio de ocho dimensiones (8D):

{a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 + a5 b5,

-a3 b2 + a2 b3 + a5 b4-a4 b5,

a3 b1-a1 b3,

-a2 b1 + a1 b2,

-a5 b1 + a1 b5,

a4 b1-a1 b4,

a4 b2 + a5 b3-a2 b4-a3 b5,

-a5 b2 + a4 b3-a3 b4 + a2 b5}

Con lo cual es fácil verificar que [math] a \ cdot w == 0 [/ math] y [math] b \ cdot w == 0 [/ math], donde el punto representa el producto de punto clásico, lo que significa que cada uno de los dos vectores, a y b, son ortogonales con w.

Verifiquemos con algunos valores enteros aleatorios:

a = {0, -3, 5, 1, 4, 5, 0, 0}

b = {0, 3, -6, -4, 3, 1, 0, 0}

w = {- 26, -3, -9, 3, -18, 21, -60, 16}

Entonces los productos de punto: [matemática] \ {0, -3, 5, 1, 4, 5, 0, 0 \} \ cdot \ {- 26, -3, -9, 3, -18, 21, -60 , 16 \} == 0 [/ matemáticas] y

[matemáticas] \ {0, 3, -6, -4, 3, 1, 0, 0 \} \ cdot \ {- 26, -3, -9, 3, -18, 21, -60, 16 \} == 0, [/ matemáticas]

son ambos cero, por lo que el vector resultante w es de hecho ortogonal a los dos vectores originales a y b.

Answer 2

Deje que [math] e_1, \ dots, e_n [/ math] sean los orts (es decir, componentes de una base ortonormal). Deje que [math] v_i, i \ in \ {1, \ dots, n-1 \} [/ math] sean vectores lineales independientes, [math] v_ {ij} [/ math] sean sus coordenadas en la base [math] e_1, \ puntos, e_n [/ math]. Ahora el siguiente determinante:

[math] v _ {\ perp} = [/ math] [math] \ left | \ begin {array} {lll} e_1 & \ dots & e_n \\ v_ {11} & \ dots & v_ {1n} \\ \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ v_ {n-1,1} & \ cdots & v_ {n-1, n} \ end {array} \ right | [/ math]

le dará un vector ortogonal distinto de cero a los originales. La construcción es absolutamente similar al producto cruzado 3D y la longitud de este vector también será la medida del paralelepípedo n-1 dimesion formado por vectores originales.

Answer 3

En el espacio de 3 dimensiones, el producto cruzado de dos vectores [math] \ vec {u}, \ vec {v} [/ math] es el único vector [math] \ vec {w} = \ vec {u} \ wedge \ vec {v} [/ math] tal que para cualquier [math] \ vec {x} det (u, v, x) = \ vec {w}. \ vec {x} [/ math]

entonces el equivalente para una dimensión 4 sería una especie de producto cruzado [math] \ vec {z} [/ math] de 3 vectores [math] \ vec {u}, \ vec {v}, \ vec {w} [ / math] tal que [math] [/ math] [math] det (u, v, w, x) = \ vec {z}. \ vec {x} [/ math]