¿Qué significa [matemáticas] U \ lvert \ uparrow \ rangle \ otimes \ lvert \ ddot- \ rangle = \ lvert \ uparrow \ rangle \ otimes \ lvert \ ddot \ smallsmile \ rangle \ text {y} U \ lvert \ downarrow \ rangle \ otimes \ lvert \ ddot- \ rangle = \ lvert \ downarrow \ rangle \ otimes \ lvert \ ddot \ smallfrown \ rangle [/ math] significa?

Answer 1

Pregunta originalmente respondida: si la medición debe ser descrita por un operador unitario de evolución temporal de Schrödinger U = e −iHτ / ħ aplicado al sistema total, entonces U debe satisfacer U | ↑⟩ ⊗ | ¨-⟩ = | ↑⟩ ⊗ | ⌣¨⟩ y U | ↓⟩ ⊗ | ¨-⟩ = | ↓⟩ ⊗ | ⌢¨⟩ – ¿Qué significa esto?

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El operador [math] U [/ math] se aplica a un estado y produce el estado que resultará con el paso del tiempo.

1. [matemáticas] U | \ uparrow \ rangle \ otimes | \ ddot {-} \ rangle = | \ uparrow \ rangle \ otimes | \ ddot \ smile \ rangle [/ math]

   Esto significa que el operador de evolución temporal [matemática] U [/ matemática], aplicado al estado [matemática] | \ uparrow \ rangle \ otimes | \ ddot {-} \ rangle [/ matemática], lo que significa una partícula giratoria , indicado por [math] | \ uparrow \ rangle [/ math], y un observador que aún no ha observado, indicado por [math] | \ ddot {-} \ rangle [/ math], debe arrojar un estado [math] | \ uparrow \ rangle \ otimes | \ ddot \ smile \ rangle [/ math] donde tenemos una partícula giratoria y un observador que ha observado girar, significada por [math] | \ ddot \ smile \ rangle [/ math] .

2. [matemáticas] U | \ downarrow \ rangle \ otimes | \ ddot {-} \ rangle = | \ downarrow \ rangle \ otimes | \ ddot \ fruncir el ceño \ rangle [/ math]

   Esto significa que el operador de evolución temporal [matemática] U [/ matemática], aplicado al estado [matemática] | \ downarrow \ rangle \ otimes | \ ddot {-} \ rangle [/ math], lo que significa una partícula giratoria , significada por [math] | \ downarrow \ rangle [/ math], y un observador que aún no ha observado, significada por [math] | \ ddot {-} \ rangle [/ math], debe arrojar un estado [math] | \ downarrow \ rangle \ otimes | \ ddot \ frown \ rangle [/ math] donde tenemos una partícula spin down y un observador que ha observado spin down, significada por [math] | \ ddot \ frown \ rangle [/ math] .

El operador [math] \ otimes [/ math] representa el producto tensorial [1] de los dos estados del sistema, donde un sistema es la partícula y el otro el observador.

La notación [math] | a \ rangle [/ math] llamada ket [2] es un vector que representa (algún aspecto de) el estado de un sistema.

Observación sobre el análisis: el producto tensor se une más estrictamente que el operador [math] U [/ math], por lo que [math] Ua \ otimes b = U (a \ otimes b) [/ math] y no [math] (Ua) \ otimes b [/ math].

Notas al pie

[1] Producto tensorial – Wikipedia

[2] Notación Bra-ket – Wikipedia

Answer 2

Con el tiempo, el spin-up que no se ha observado evolucionará para girar con un observador feliz, y el spin-down que no se haya observado evolucionará para girar con un observador infeliz.

El artículo en la referencia vinculada define el significado de los “emoticonos”:

Suponiendo que el observador se alegrará si mide las vueltas, dejamos que [matemáticas] \ lvert \ ddot- \ rangle, \ lvert \ ddot \ smallsmile \ rangle, \ text {y} \ lvert \ ddot \ smallfrown \ rangle [/ matemáticas] denotan los estados del observador antes de la medición, después de percibir el giro hacia arriba y después de percibir el giro hacia abajo, respectivamente

También define el significado del operador unitario [matemática] U [/ matemática] como:

un operador unitario de evolución temporal de Schrödinger

La notación de corchetes y flechas son bastante estándar para la rotación, [matemática] \ lvert \ uparrow \ rangle [/ math] y la rotación, [matemática] \ lvert \ downarrow \ rangle [/ math], estados cuánticos .

Finalmente, [math] \ otimes [/ math], es un operador estándar para combinar estados cuánticos.

Por lo tanto: la evolución temporal de Schrödinger de (estado de rotación combinada con el estado del observador antes de la medición) es igual a (estado de rotación combinada con el estado del observador después de percibir la rotación). Del mismo modo para spin-down. Y, de hecho, si [math] \ lvert \ psi \ rangle [/ math] representa algún estado cuántico, y [math] \ lvert \ ddot \ sim \ rangle [/ math] representa el estado del observador después de percibir el estado, entonces :

[matemáticas] \ quad U \ lvert \ psi \ rangle \ otimes \ lvert \ ddot- \ rangle = \ lvert \ psi \ rangle \ otimes \ lvert \ ddot \ sim \ rangle [/ math]

Es decir, ¡no dice mucho en absoluto! Lo caracterizaría como ofuscación.

Un par de puntos que te pueden interesar:

• Puede definir símbolos arbitrarios para tener significados arbitrarios en matemáticas: la intención habitual es ser precisa, rigurosa y breve, pero se sabe que las personas intentan “cegarse con la ciencia”; y
• Hay un orden implícito de operaciones en las expresiones con [math] \ otimes, U, = [/ math] en ese orden de prioridad.