Cómo encontrar el determinante de las matrices 5 × 5 por estimación

Answer 1

A2A, gracias.

Hay un par de formas de estimar esto, pero no he probado lo buenos que son.

1. El determinante es el producto de los valores propios, así que trate de estimar los valores propios. Hay formas numéricas de hacerlo, pero su éxito probablemente dependerá en gran medida de la estructura de la matriz. Por otro lado, Matlab parece calcular los valores propios de un 5 por 5 con bastante facilidad, así que pruebe Octave u otro paquete gratuito.
2. El determinante es el factor por el cual la transformación cambia el volumen del cubo unitario. Entonces, si [matemáticas] A [/ matemáticas] es su transformación, y
   [matemáticas] {\ bf e} ^ {1} = (1,0,0,0,0), {\ bf e} ^ {2} = (0,1,0,0,0), \ ldots, {\ bf e} ^ {5} = (0,0,0,0,1) [/ matemáticas]
   es su base estándar, el cálculo de los vectores
   [matemáticas] A {\ bf e} ^ {1}, A {\ bf e} ^ {2}, \ ldots, A {\ bf e} ^ {5}
   [/ math] e intente estimar el volumen del paralelepípedo de 5 dimensiones que abarcan (por ejemplo, mediante un método de Monte Carlo).

Una vez más, no he probado estos y estoy respondiendo a toda prisa, así que perdone la calidad potencialmente pobre, por favor.

Answer 2

Es aproximadamente n! cálculos, o 120 cálculos. No puede encontrar los valores propios de la matriz 5 × 5 a mano debido al teorema de Abel-Ruffini típicamente. Ponlo en una computadora. Podría intentar pasar a un nivel de fila reducido y eso reduce los cálculos. Simplemente no vale la pena, diría.

Answer 3

Más allá de una matriz de 3 × 3, el cálculo es mejor dejarlo en una computadora, quizás Matlab