Si pudieras diseñar el plan de estudios ideal de matemáticas K-12, ¿cuál sería?

¿Cuál es el plan de estudios ideal de matemáticas?

Esta no es realmente la pregunta correcta, a menos que esté pensando en el plan de estudios apropiado para una persona específica, ya que, como Alon Amit ya lo ha señalado, el plan de estudios matemático ideal, si existe, depende de la persona.

También depende del “sistema de entrega”, es decir, si los maestros tienen la formación adecuada, si se les proporciona el desarrollo profesional adecuado, si la escuela y los padres los consideran profesionales, tienen la libertad de dirigir su propio aulas o están limitados a “” enseñar a un examen “, etc.

También depende de la “preparación de los estudiantes”, lo que significa que la mayoría de la gente quiere decir “¿los estudiantes aprendieron los requisitos previos”, pero que también significa, particularmente para los estudiantes urbanos y rurales en los Estados Unidos, si pueden ver la pizarra, si pueden escuchar al maestro, son sufren de asma o dolor de muelas, si desayunaron de manera nutritiva, son víctimas de acoso por parte de sus compañeros o abuso por parte de sus padres.

Durante la década de 1990, muchos estados en los EE. UU. Crearon “estándares de matemáticas” que tenían la intención de describir lo que todos los estudiantes necesitaban saber, comprender y poder hacer. Los estándares no se consideraban un currículo, sino que describían el contenido que debería incluirse en cada currículo. Tampoco se pretendía que los estándares se desarrollaran en un plan de estudios ideal, sino solo lo que se necesitaba para preparar a cada estudiante para la universidad, las carreras y la ciudadanía. Dependiendo de la dirección que tomó el estudiante, él o ella podría necesitar aprender temas adicionales en matemáticas.

Una dirección que el estudiante podría tomar es la preparación para el cálculo, particularmente si el estudiante tenía la intención de seguir una carrera que involucrara las ciencias matemáticas, las ciencias físicas y la ingeniería. Pero no todos los estudiantes necesitan seguir esa dirección.

Lideré el esfuerzo en el desarrollo de estándares matemáticos (y un Marco Curricular de Matemáticas) para Nueva Jersey, que fueron adoptados por el estado en 1996, y una versión revisada adoptada en 2002. Quizás en parte debido a esos estándares, Nueva Jersey constantemente se ubicó entre los principales estados en las evaluaciones NAEP, a pesar de tener una de las poblaciones de estudiantes más diversas.

Los estándares nacionales adoptados hace casi diez años, en lugar de enfocarse en preparar a todos los estudiantes para carreras, universidad y ciudadanía, se enfocaron en preparar a todos los estudiantes para el cálculo. Por lo tanto, quieren que todos los estudiantes aprendan los temas que solo algunos estudiantes necesitan aprender. No todos los estudiantes, por ejemplo, necesitan poder encontrar 64 a la potencia de dos tercios. Lamentablemente, los objetivos de estas normas se basan en suposiciones falsas. Además, los estándares están vinculados a evaluaciones nacionales que han infundido temor en los administradores escolares que, como resultado, han sofocado la creatividad de los maestros en la instrucción. Esta es una receta para el desastre.

Descargo de responsabilidad: Soy un defensor de incluir las matemáticas discretas en el plan de estudios de K a 12. Esto incluye una lista y un conteo sistemáticos, que Alon Amit menciona, pero también otros temas, incluidos los gráficos de vértice y sus aplicaciones (por ejemplo, ¿qué ruta debe usar una persona de entrega para minimizar la distancia total recorrida mientras entrega todos los paquetes? ) Estos temas tienen pocos requisitos previos, pero son ideales para presentar a los estudiantes, incluso a los niños pequeños, la resolución de problemas, el razonamiento y el modelado. Mi libro de texto para estudiantes de secundaria (y cualquier persona matemáticamente curiosa) se llama “” Resolución de problemas y razonamiento con matemáticas discretas “y se puede encontrar en new-math-text.com

“Ideal” es una palabra difícil.

En un mundo “ideal” donde todos los maestros de matemáticas tienen un doctorado en matemáticas, conocen muy bien una amplia variedad de temas matemáticos, pueden relacionarse con las luchas de los niños, saben cómo cautivar a una audiencia, son fantásticos narradores de historias y tienen pequeños clases de niños con intereses e inclinaciones similares: en este mundo promovería varios planes de estudio específicos (cada uno con una cantidad significativa de variación permitida) para satisfacer las diferentes necesidades de diferentes niños (sí, creo que diferentes niños tienen diferentes necesidades) .

En nuestro mundo actual, todavía puede haber varios planes de estudios matemáticos “ideales” que se ajusten a suposiciones razonables sobre lo que se espera que los maestros dominen, en qué podemos capacitarlos de manera consistente y exitosa, lo que podemos esperar del tamaño de las clases y una variedad de otros supuestos Pero incluso si estuviera absolutamente seguro de cuál es este plan de estudios matemático ideal, sería muy cauteloso acerca de una vez más revolucionar la educación matemática en los EE. UU. O en el mundo, o en cualquier lugar.

(Sí, sé que el modelo de Singapur es increíble y todos en Singapur son genios de las matemáticas. Sí, sé que Finlandia ha transformado totalmente toda la educación y ahora es un verdadero paraíso de conocimiento. Sí, sé que la educación matemática de los Estados Unidos es horrible y terribles y destrozados, y los niños de EE. UU. van a la zaga de todas las regiones habitables del planeta. Todas esas cosas son verdaderas, en cierto modo, y también falsas, porque medir, interpretar y evaluar el estado actual de las cosas es muy, muy Complicado.)


La pregunta es “si pudieras diseñar el plan de estudios matemático ideal”, pero realmente no se trata de mí, y no debería serlo. Sé bastante bien lo que puedo enseñar, y lo que me encantaría enseñar, y lo que sería realmente bueno si todos lo supieran. Pero no soy todos los maestros del mundo, y no puedo hacer que todos los maestros del mundo sean como yo, y de todos modos no queremos eso.

Un excelente plan de estudios de matemáticas para niños que realmente aman las matemáticas, y para maestros que son extremadamente buenos maestros de matemáticas, es el que llevamos a cabo en Proof School. Es fantástico, pero no es adecuado para todos los estudiantes y no es adecuado para todos los maestros.


Realmente insistes, ¿eh?

Okay.

Quiero que todos los niños (y adultos) entiendan la mayoría de las ideas clave en “Cómo no estar equivocado [1]” de Jordan Ellenberg. Quiero que puedan saber cómo leer datos, cómo hacer inferencias y cómo juzgar las inferencias alegadas de otras personas. Quiero que comprendan la idea de un modelo matemático de la realidad y que puedan elaborar algunos modelos simples de física y economía. Quiero que luchen con la idea del infinito. Quiero que puedan escribir código que incluya algunos bucles, algunas ramificaciones y algunas llamadas a funciones. Y quiero que puedan escribir y presentar un argumento coherente, bien apoyado y presentado claramente sobre un tema que entiendan bien (y que no tengan nada que ver con las matemáticas, pero sí, esto es parte del plan de estudios de matemáticas) .

Quiero que algunos niños vuelen a través del currículo de Proof School y más allá. Quiero que se sientan cómodos con las definiciones abstractas y que estén completamente familiarizados con las pruebas, incluida la resolución de problemas desafiantes que requieren pruebas. Quiero que conozcan algo de teoría de números, algo de teoría de grupos, algo de topología, algo de teoría de conjuntos, algo de lógica matemática, algo de teoría combinatoria y de probabilidad, algo de análisis complejo, algo de álgebra lineal, algo de análisis real, algo de mecánica cuántica, algo de teoría de la relatividad y Alguna teoría electromagnética. Quiero que puedan resolver muchos problemas de la OMI. Quiero que codifiquen lo suficientemente bien como para resolver la mayoría de los problemas del Proyecto Euler [2], para comprender una variedad de estructuras de datos y algoritmos, y para poder crear una aplicación cliente-servidor.

Quiero que muchos niños caigan en algún punto entre estos dos puntos de referencia, habiendo dominado todo en el primer párrafo y una parte adecuada del segundo. Exactamente cómo averiguar quién necesita qué, y cómo organizar y dividir el plan de estudios ideal completo, es algo que no puedo expresar razonablemente bien en una respuesta de Quora. Es un libro.

Notas al pie

[1] Cómo no equivocarse: el poder del pensamiento matemático: Jordan Ellenberg: 9780143127536: Amazon.com: Libros

[2] Problemas archivados – Proyecto Euler

[ Advertencia: Probablemente voy a revisar sustancialmente esta respuesta en el futuro cercano; Vi este tema tarde anoche mientras terminaba otro trabajo y me permití distraerme escribiendo una divagación [a pesar de las viñetas]. Estoy de acuerdo con eso, más o menos, pero se puede limpiar y expandir]

He visto dos respuestas fascinantes de dos personas a las que respeto [para no descartar ninguna otra respuesta de personas que no conozco].

En realidad, es posible que no responda completamente a la pregunta, tengo algunas opiniones sobre cuáles son los problemas con los currículos actuales [de EE. UU., Al menos], y algunas ideas vagas de lo que me gustaría ver, pero en realidad soy bastante ambivalente sobre muchos de los detalles del contenido.

Creo que fallamos a los estudiantes de tres maneras distintas:

  • Enfatizamos demasiado el ejercicio computacional. ¡Eso no quiere decir que no hay lugar para eso! Todos deberían tener habilidades aritméticas básicas y más. Pero puede hacer una hoja de trabajo tras otra en la que multiplique números e intente colocar el punto decimal en el lugar correcto y nunca sepa realmente POR QUÉ lo está haciendo o qué significa. Podría decir lo mismo sobre factorizar polinomios. Algunos estudiantes nunca salen de esta rutina; tienen algunas reglas mecánicas parcialmente recordadas para hacer un conjunto de cálculos, pero realmente no entienden lo que están haciendo y siempre están en peligro de recordar o aplicar mal esas reglas Y simplemente tener un mejor recuerdo de las reglas que no entiendes no es lo que se entiende por fluidez matemática.
  • No podemos exponer a los estudiantes a la riqueza de las matemáticas y el razonamiento abstracto. Incluso con un conjunto limitado de habilidades aritméticas, puede explorar preguntas interesantes, buscar patrones interesantes y llegar a conclusiones sorprendentes, y a medida que aprende más, las preguntas más interesantes se vuelven accesibles. Los acertijos son intrínsecamente interesantes, ya sea que estén razonando sobre situaciones en el juego de SET, o que muestren que no hay una combinación de signos más y menos que puedas poner entre los números 1 2 3 4 5 … 2017 para hacer que la suma total se sume a 0.
  • No brindamos suficientes oportunidades para que los estudiantes persigan objetivos individuales u obtengan instrucción individualizada. Algunos estudiantes pueden necesitar más ayuda sobre habilidades básicas, otros pueden interesarse o inspirarse en algún concepto o problema específico y desear aprender más al respecto; esa es una oportunidad de oro para aprender y no se debe perder porque esta semana es hora de aprende sobre racionalizar el denominador. En el pasado, era logísticamente imposible que los estudiantes de una comunidad tuvieran instrucción o experiencias matemáticas muy diferentes; ahora es mucho más posible, con recursos y educación en línea, aunque aún no siempre es fácil. Y, por supuesto, debe haber lugares como Proof School y actividades extracurriculares como círculos de matemáticas en cada comunidad.

Eso es mucho sobre cuál es el problema, y ​​no tanto sobre cómo resolverlo. Parte de mi solución sería centrarme más en problemas interesantes y accesibles desde el principio, junto con algo de práctica computacional, aunque bastante limitada. El álgebra de la escuela secundaria debería introducirse mucho antes, y orgánicamente, en lugar de axiomáticamente, solía decirle a mi hijo cuando estaba en el jardín de infantes: “Estoy pensando en un número y si lo duplica y suma 3, obtiene 19. ¿Qué número? estoy pensando? y cuando me dijo 8, le dije “¡guau, eso es increíble! ¿cómo te diste cuenta de eso? ”¿estábamos haciendo álgebra? ¿Es necesario memorizar qué significan palabras como “asociativo”, “conmutativo” y “distributivo” y completar pequeños espacios en blanco en una hoja de trabajo con sus definiciones antes de que podamos comenzar a utilizar variables como marcadores de posición?

La fluidez matemática es realmente

  • una conciencia de que la sintaxis de las matemáticas [todos los detalles de la notación y cómo manipulas los símbolos al hacer cálculos] y la semántica de las matemáticas [qué significan esas expresiones, cuál es el significado de los cálculos que estás realizando] están inextricablemente unidos
  • y la capacidad de cambiar sin problemas de uno a otro y viceversa, utilizando el que sea más conveniente para la tarea en cuestión.

Si los estudiantes pueden desarrollar esa fluidez, entonces todo lo demás encaja y casi no importa en qué año tomen geometría, si aprenden sobre la interpolación lineal en álgebra 1 o si su clase de cálculo usa el enfoque “temprano” o “tardío” a los trascendentales. Si ellos * no * desarrollan esa fluidez, entonces no importa qué cursos AP tomen, tendrán grandes dificultades con las aplicaciones de matemáticas de alto nivel.

En realidad, no se trata tanto de un plan de estudios particular como de la educación matemática en general. Estoy un poco sorprendido de que casi no se mencione la geometría. Solo una respuesta, y solo se menciona brevemente en una lista.

Creo que es una de las áreas de matemáticas más intuitivas y accesibles para los no matemáticos. También es un área de investigación moderna muy activa también. Más bien un tema divertido, con cosas como la clasificación de todos los grupos de papel tapiz posibles, inclinaciones no periódicas, inclinaciones Wang, los poliedros regulares, geometría de dimensiones superiores, politopos de cuatro dimensiones, etc.

Y también puedes aportar ideas abstractas. Después de todo, históricamente gran parte de la teoría de grupos moderna surgió de los intentos de resolver la trisección de un ángulo arbitrario, una construcción geométrica para doblar un cubo, etc. ¿Alguna vez adivinará que es imposible trisecar un ángulo de 60 grados con un (sin marcar ) regla y brújula?

Construcción de bisección: es fácil dividir cualquier ángulo con una regla y una brújula sin marcar, como esta. ¿Creería que no solo es ferozmente difícil dividir algunos ángulos (dividirlos en partes iguales) sino que incluso es imposible? Este es uno de los grandes desafíos geométricos de los antiguos griegos. Nadie pudo resolverlo. Sin embargo, ¡fue solo a mediados del siglo XIX que finalmente se resolvió! Pierre Wantzel publicó una prueba en 1837 seguida de una prueba por un método diferente por Galois en 1846 (Galois murió trágicamente joven en un duelo). Un ejemplo de ángulo que nunca se puede trisecar con regla y compás es 60 grados, el ángulo interno de un triángulo equilátero.

Luego, también, los problemas de tratar de resolver una axiomización completa de la geometría, tan difícil que Euclides realmente perdió varios axiomas importantes. Luego, la idea de que podría reemplazar el axioma de paralelos con otros axiomas, lo que lleva a espacios curvos y, finalmente, a la relatividad general.

Matemáticas recreativas también. La idea de que las matemáticas es divertida. Matemáticas de solitario, o de rompecabezas de bloques deslizantes, o lo que sea.

Lo que pasa es que un maestro puede traer esas materias para animar una clase, pero debido a que no es parte de su plan de estudios, no pueden dedicar mucho tiempo a ello. Creo que sería bueno tener algo de esto en el plan de estudios. No tanto “tienes que hacer dos períodos para aprender las matemáticas bastante interesantes de las soluciones de rompecabezas de solitario”, sino más bien, una forma de incorporar las matemáticas recreativas, de una manera que puede variar de un año a otro según los intereses de los alumnos, pero aún así Un crédito por el curso.

No sé cómo harías eso en la práctica. Pero estoy seguro de que con suficiente ingenio se puede encontrar una manera.

Luego está la historia de las matemáticas. Creo que muchos escolares se sorprenderían al saber cuántas de las cosas que damos por sentado, como números negativos en ecuaciones, ratios, cero, notación de lugar, cuánto habría parecido casi incomprensible para nuestros antepasados ​​hace solo unos siglos. .

Volviendo a la geometría, también tiene un valor práctico, que tiene que ver con la conciencia espacial, el pensamiento lógico. También puedes ver las aplicaciones a la astronomía.

Una de las cosas con las que me encuentro una y otra vez cuando ayudo a desacreditar la idea mítica falsa de un planeta “Nibiru” es que muchas personas no parecen tener ni siquiera la comprensión geométrica más básica. Por ejemplo, luchan con el argumento de que un planeta en una órbita de 3600 años no puede esconderse detrás del sol durante años como se ve desde la Tierra en una órbita de un año. Ideas básicas como esa. O entender que los eclipses solares solo pueden ocurrir en la luna nueva y los eclipses lunares solo en la luna llena. O que la estrella polar se quede quieta en el cielo porque allí es donde apunta el eje de la Tierra.

Estas son ideas tan básicas, sin embargo, muchas personas van a la escuela sin aprenderlas, o más generalmente, la forma geométrica de pensar que hace que tales ideas sean fáciles de entender. Entonces, las matemáticas aplicadas a la astronomía también podrían ser una gran materia para el plan de estudios. El cielo nocturno está abierto para que cualquiera lo vea. Pueden reproducir algunos de los experimentos que llevaron a los astrónomos de la antigüedad a aprender cómo funcionan los planetas y las estrellas. Los alumnos más avanzados incluso podrían intentar estimar la velocidad de la luz al observar las órbitas de las lunas de Júpiter, por ejemplo. (Esta es la prueba de Romer en el siglo XIX de que la luz tiene una velocidad finita La determinación de Rømer de la velocidad de la luz en 1676, que finalmente condujo a una relatividad especial).

Entonces, un poco de matemática aplicada, que involucra astronomía y geometría también, lo suficiente como para que tengan los conceptos básicos de una comprensión geométrica de cómo funciona el sistema solar, las órbitas, etc.

Esta es una gran pregunta y difícil porque hay muchas cosas que deben cambiar. Pero no demos excusas y probémoslo.

La sociedad de la información contemporánea en la que vivimos exige mucho más énfasis en las matemáticas discretas y la informática básica. Incluiría la teoría de números elementales y la combinatoria básica, con énfasis en las pruebas de por qué las fórmulas combinatorias son así.

Incluiría lógica matemática básica, comenzando con álgebra booleana y cubriendo definiciones básicas de pruebas. También incluiría los números cardinales básicos como introducción a la gran historia de infinitos contada por Cantor. También incluiría la relación fundamental de la prueba de diagonalización de Cantor con la indecidibilidad en informática, es decir, el problema de detención.

Como tema avanzado, este hilo de contabilidad debe continuar con formulaciones simples de los teoremas de incompletitud de Gödel.

En resumen, las principales cosas que faltan en los currículos matemáticos actuales, y no solo K-12, son la lógica matemática, la teoría de números y las matemáticas más discretas en general.

El maravilloso trabajo de Cantor sobre infinitos, realizado no hace mucho tiempo (relativamente hablando) en la década de 1870, ha estado en el centro de la informática teórica moderna, así como de la lógica matemática. Es sorprendente que su diagonalización se pueda explicar y sea accesible incluso para principiantes.

Los enfoques tradicionales, básicamente sin cambios durante siglos, se han basado en el análisis y el cálculo. Deben permanecer, pero acortados y mejorados con lo anterior.

Hablemos de fracciones. Si hay una cosa, muchos niños y adultos luchan con su suma de fracciones. Puede enseñarlo un día y el alumno parece entenderlo, pero la semana que viene se ha ido por completo y una vez más suman los dos numeradores y los dos denominadores.

Agregar fracciones es difícil ya que lleva tiempo hacer coincidir la representación simbólica con la intuición. Probablemente me resultaría más fácil pedirles a los estudiantes que agreguen un tercio a un tercio que pedirles que hagan [matemáticas] \ tfrac {1} {3} + \ tfrac {1} {3} [/ matemáticas].

Parte del trabajo de enseñar matemáticas es desarrollar tales intuiciones. ¿Cómo traducimos un conjunto de símbolos en una página en algo significativo y luego hacemos algo con él? Una vez que hayamos hecho, esta es una situación que debe hacerse una y otra vez, comenzando desde la suma hasta las ecuaciones cuadráticas. Idealmente, la habilidad aprendida al final es desarrollar intuiciones para situaciones novedosas rápidamente.

Al salir de la universidad, estaba lleno de algunas grandes ideas de cambios revolucionarios en la enseñanza de las matemáticas. Estos han sido en gran medida comprobados por las realidades de conocer a estudiantes individuales. Están mucho menos interesados ​​en las ideas geométricas abstractas que en cosas más simples en las que eso realmente puede lograr y dominar.

Yo diría que el plan de estudios matemático actual en el Reino Unido está muy bien. Satisface las necesidades de proporcionar matemáticas prácticas básicas que el 90% de los estudiantes necesitan con el material más desafiante para el extremo superior. Creo que el balance ha cambiado este año con el nuevo sistema de exámenes. Los documentos han sido diseñados para discriminar mejor el extremo superior. El problema es que la brecha entre los estudiantes de nivel superior y promedio es tan grande que las calificaciones de aprobación fueron del 18%. Realmente tres niveles de papel son mejores, uno para el extremo superior, uno para los estudiantes intermedios y un tercero para aquellos que realmente luchan.

Soy bastante escéptico ante los grandes cambios en el plan de estudios en general. La educación sufre demasiadas reformas, al menos una al año en el Reino Unido. A cada gobierno entrante le gusta imponer su poder mediante alguna iniciativa educativa para garantizar que al 50% de los alumnos les vaya mejor que el promedio. La mayoría falla.

Para la mayoría de los estudiantes, creo que simplemente hay demasiado en el plan de estudios. El examen de 16 años cubre demasiado material, un poco más de profundidad y menos aliento no iría bien. Liberando un poco más de espacio para que los maestros desarrollen sus propios

Una queja particular es que todos los problemas presentados tienen soluciones. De hecho, los problemas presentados se eligen para ser manejables, es una de las razones por las que hay tanto énfasis en las cuadráticas: porque hay una fórmula para su solución. En el mundo real, es poco probable que los problemas sean tan claros. Un blog de maestros matemáticos que me pareció bastante bueno es El estado de estar atrapado. La mayoría de los matemáticos practicantes pasan gran parte de su tiempo estancado, probando diferentes técnicas para resolver un problema difícil. Un poco más de esa experimentación alentadora en lugar de simplemente aplicar una fórmula establecida podría ser bueno.

También podría reformar el sistema de examen por completo. En lugar de un gran examen al final, tenga exámenes más pequeños que muestren el dominio de un tema determinado. Por lo tanto, es posible que tenga un examen formal de 30 minutos sobre fracciones, que se puede tomar a cualquier edad entre los 11 y los 16 años. Con suerte construyendo confianza.

Desarrollar un plan de estudios matemático completo para estudiantes de K-12 está en mi lista de tareas pendientes, pero tomará un tiempo. Creo que ya he hecho un trabajo bastante bueno para los estudiantes avanzados de secundaria con mi trabajo enseñando clases de nivel universitario en Euler Circle, pero todavía estoy resolviendo lo que hay que hacer en los niveles inferiores. Esto es lo que creo en este momento:

Las cosas más importantes que uno debe aprender en la escuela primaria son cómo encontrar patrones y recopilar y organizar información. Los estudiantes deben analizar objetos matemáticos que tengan un montón de patrones y comprender qué hay detrás de esos patrones. Algunos objetos matemáticos que son especialmente fructíferos son la secuencia de Fibonacci, el triángulo de Pascal, los números figurados y las secuencias automáticas como la secuencia de Thue-Morse. Estos deberían ser objetos cotidianos de juego para los estudiantes. Al principio, los estudiantes deberían recibir actividades que insinúen los patrones subyacentes, y a medida que mejoren en esto, las actividades deberían ser más abiertas, permitiendo a los estudiantes aprender cómo hacer buenas preguntas y distinguir entre problemas fáciles y difíciles. En el camino, según sea relevante, los estudiantes aprenderán cómo hacer aritmética y álgebra básicas, idealmente introducidas según sea necesario para comprender los patrones que ya han detectado.

En la escuela secundaria, los estudiantes deben aprender cómo funcionan las pruebas y los trucos estándar del oficio: pruebas directas, pruebas por contradicción, inducción, principio de casillero, pruebas extremas, etc. Aprenderán esto a través de teoremas interesantes en varias partes de las matemáticas: teoría de números, combinatoria, geometría / trigonometría, análisis real, etc. Por supuesto, escribirán sus pruebas en oraciones y párrafos completos como humanos civilizados.

En el nivel secundario, los estudiantes aprenderán una abstracción más profunda a través de materias como álgebra abstracta, análisis y topología. También aprenderán a leer y escribir (en su mayoría expositivos) trabajos de matemáticas y analizar piezas complicadas de matemáticas, donde las pruebas tienen más de un par de líneas de largo. Los estudiantes aprenderán a dar charlas cortas de matemáticas explicando una prueba y un poco de antecedentes. También harán uno o más proyectos de investigación de juguetes que impliquen contribuir con algo al campo. Estos no tienen que ser documentos publicables, pero deberían ser una forma nueva o al menos desarrollada independientemente de pensar sobre un tema. Es muy enriquecedor desarrollar su propia forma de entender algo y explicarlo a los demás.

Este es un plan ambicioso, por supuesto, pero creo que los estudiantes pueden cumplir con las expectativas (razonables) cuando tienen la orientación adecuada. Ya lo he visto suceder, y creo que puede funcionar a mayor escala. Un problema es la falta de maestros calificados para enseñar a este nivel. Para lidiar con esto, se debe diseñar un plan de estudios exhaustivo, y debe venir con muchos puntos de control: los estudiantes que se atrasan podrían ser un problema muy serio dependiendo de la configuración, y esto debe evitarse. La forma estándar de minimizar (pero no evitar, claramente) que los estudiantes se rezaguen es cubrir muy poco material y avanzar muy lentamente, lo que en la práctica tiene el efecto de sofocar a los estudiantes fuertes y evitar que aprendan algo. Creo que podemos hacerlo mucho mejor en ese frente.

Podría agregar una perspectiva bastante diferente de las otras respuestas. Primero, mi interpretación de la palabra “ideal” es que me pregunta qué propondría si fuera un político en el mundo real de hoy, no si fuera algún tipo de genio, ni si el mundo es tal que todos están tan locos sobre las matemáticas como juegos de fútbol.

La madurez matemática mínima que me gustaría ver en los graduados de secundaria ordinarios es que pueden hacer exactamente lo que se les dice , es decir, seguir las instrucciones dadas de una manera estrictamente lógica. Bien, ¿acabo de decir “mínimo”? Estaría absolutamente eufórico de ver que esto suceda. Para elaborar lo que esto significa, por ejemplo, aquí hay una regla para la aritmética con enteros (con signo), suponiendo que los estudiantes ya estén familiarizados con las operaciones de enteros no negativos:

Suma / resta: digamos que uno tiene que hacer [matemáticas] (\ pm x) \ pm (\ pm y) [/ matemáticas] donde [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] son ​​enteros no negativos.

  1. Dibuja una recta numérica.
  2. [matemática] (+ x) [/ matemática] significa “moverse hacia la derecha por [matemática] x [/ matemática] pasos”. [matemática] (- x) [/ matemática] significa “moverse hacia la izquierda por [matemática] x [/ math] pasos.
  3. Si hay un signo más en el medio, se puede considerar que significa “y”. Entonces, por ejemplo, [matemática] (- 3) + (+4) [/ matemática] significa “(comenzar en cero,) moverse a la izquierda por 3 pasos y muévete a la derecha por 4 pasos ”. Uno llegará a [matemáticas] +1 [/ matemáticas] y esa es la respuesta.
  4. Si hay un signo negativo, significa “y hacer lo contrario de …”. Por ejemplo, [matemáticas] (- 3) – (+4) [/ matemáticas] significa “moverse hacia la izquierda 3 pasos y moverse hacia el opuesto de la derecha 4 pasos”. Entonces, la respuesta es [matemáticas] -7 [/ matemáticas ]en este caso.

Multiplicación / división:

  1. En realidad es mucho más simple. Primero ignore el signo y haga el cálculo, y luego si los dos números tienen los mismos signos, el signo es [math] + [/ math], de lo contrario es [math] – [/ math]. Por ejemplo [matemáticas] (- 3) \ veces (+4) = -12 [/ matemáticas] y [matemáticas] (- 4) / (-2) = 2 [/ matemáticas].

Los expertos en matemáticas probablemente no lo creerán, pero sorprendentemente a muchos estudiantes les cuesta mucho enfrentarse a estas reglas gráficas y simples, incluso cuando reciben mucha atención individual. ¡Y hay tantos patrones de malentendidos!

En realidad, esto incluso sucede en lugares como Stanford. Digamos, para mostrar una lista de vectores [math] x_1, \ ldots, x_k [/ math] es linealmente independiente o no, uno comienza escribiendo la ecuación [math] c_1x_1 + \ ldots + c_kx_k = 0 [/ math ] Sin embargo, en muchos casos, ¡los estudiantes no harían esta cosa simple! O dudan por algunas razones psicológicas, o lo mezclan con otras nociones como “colineal”, o simplemente han olvidado la definición.

Es como si siguiera diciéndoles: “Oye, los obispos se mueven en diagonal”, y siguen moviéndolo en línea recta.

Los humanos parecen haber evolucionado para confiar en muchas señales psicológicas encubiertas, a menudo animales, en lugar de un proceso de decisión lógicamente riguroso. La liberación de cada estudiante de esta inercia, en mi opinión, debería ser el objetivo más inmediato e importante del plan de estudios de matemáticas de la escuela. Realmente no me importa si los estudiantes olvidan todo después de la final.

Entonces, qué y cómo les enseñamos a los estudiantes para lograr que “muevan al obispo correctamente”. En cuanto a la parte “qué” – álgebra, geometría, cálculo … – Realmente creo que lo que se está haciendo ahora en los Estados Unidos es bueno.

En cuanto a “cómo”, al menos para la parte aritmética, quizás para consternación de otros matemáticos, en realidad apoyo el aprendizaje de memoria. Pero el propósito no debe ser torturar, avergonzar o disciplinar a los estudiantes, sino darles tiempo para desarrollar sus propias intuiciones y atajos a la regla, y hacer que prueben la alegría del momento en que las cosas salgan bien. La clave es que los maestros implanten la filosofía correcta en la mente de los estudiantes y lideren la discusión en clase para que los estudiantes compartan los métodos que desarrollaron mientras hacen la tarea.

Además, desearía (en los EE. UU.) Que den problemas más complicados, que un estudiante puede resolver durante 20-30 minutos. No me gusta que en cada unidad se les presente a los estudiantes varios tipos de problemas, y para cada tipo se les lleva a memorizar un procedimiento algorítmico que resuelve problemas de ese tipo. Eso no es en absoluto lo que quise decir con “hacer exactamente lo que se me dijo”. Al igual que en el ajedrez, enseñar las reglas básicas con absoluta precisión y darles a los estudiantes espacio para hacer algunas cosas interesantes. Introduzca ideas nuevas de vez en cuando.

Y no puedo enfatizar más que durante todo este proceso, uno debe tener cuidado de no abrumar a la mayoría de los estudiantes con un ritmo demasiado rápido o materiales esotéricos. La afinidad natural con las matemáticas es un atributo extremadamente raro, que confieso que no me tengo a mí mismo. Recuerdo que cuando tenía seis años me costó mucho dibujar una estrella de cinco puntas. Los estudiantes seriamente interesados ​​en las matemáticas deben buscar recursos fuera de la escuela (y supongo que los consejeros deben ayudar, idealmente).

K-5: Concéntrese en resolver problemas aritméticos básicos de palabras usando ejemplos de los trabajos / carreras más comunes del año anterior (basado en el% de la población empleada).

Ejemplo de pregunta de evaluación: un vendedor minorista registra las compras de un cliente por un total de $ 11.55 con impuestos. El cliente le entrega al cajero un billete de veinte dólares. El cajero ingresa veinte dólares en el sistema y muestra el cambio adeudado de $ 8.45.

(1) ¿Qué cambio debe devolverse utilizando los mayores incrementos de dinero? ($ 5, 3x $ 1, $ 0.25, 2x $ 0.10)

(2) Antes de darle al cliente su cambio, le dan una moneda para completar. ¿Cuál es el nuevo cambio total del cliente? ($ 8.50)

Etc …

6-8: Uso de herramientas (cintas métricas, niveles, transportadores, brújulas, medidores, temporizadores, etc.) con preálgebra para resolver problemas más complejos y aplicables.

Ejemplo: después de mudarse a un nuevo dormitorio, un estudiante universitario desea colgar 2 carteles en la pared a 18 pulgadas de distancia. Cada póster mide 24 pulgadas de ancho y la pared mide 12 pies de largo. ¿A qué distancia de los bordes de la pared se deben colocar las uñas? (12 pies son 144 pulgadas. [144 – 2 (12 pulgadas) – 18 pulgadas] / 2 = 51 pulgadas.

9-12: Requisitos de graduación: Educación financiera personal, Estadística, Álgebra 1 y Geometría.

Ejemplo. Se ha publicado un artículo con el titular: “La tasa del déficit nacional de los Estados Unidos está disminuyendo”

(1) ¿El déficit nacional total de EE. UU. Aumenta o disminuye? (Creciente)

(2) Si la tasa está disminuyendo, ¿qué puede implicar los ingresos y gastos anuales? (Se aumentan los ingresos y / o se disminuyen los gastos)

Algebra 2, Pre-Calc, Cal deben ser optativas para los estudiantes que desean cursar estudios superiores de STEM en la universidad.

Estoy respondiendo desde la posición de alguien que no es absolutamente una persona de matemáticas. No tengo por qué diseñar un plan de estudios matemático real. ¡Pero puedo determinar con exactitud qué me hizo odiar las matemáticas cuando era niño! Entonces, si alguien tiene algún poder sobre el plan de estudios de matemáticas, preséntese.

En el tercer grado comenzamos a hacer pruebas de multiplicación cronometradas. Fue algo así como 50 problemas en cinco minutos.

Esta mierda me dejó absolutamente impresionado. Quiero decir, incluso los estúpidos fáciles me equivocaría porque estaba volviendo loco sobre el límite de tiempo. Cosas como 1 x 1 = 11 o lo que sea.

Absolutamente odiaba esas cosas. Los hicimos todos los martes en el tercer grado y recuerdo específicamente esto porque odiaba los martes debido a estas pruebas tontas . Me eché a llorar en mi escritorio un par de veces porque estaba muy estresado por eso. Y no era que no supiera que 1 x 1 = 1. Sí.

Antes de la introducción de estas cosas, no recuerdo haber tenido sentimientos fuertes sobre las matemáticas en absoluto. Después de estas estúpidas pruebas, odié las matemáticas y esto continuó durante el resto de mi carrera escolar.

Entonces, ¿lo que quiero saber es cuál demonios era el punto de esas estúpidas pruebas cronometradas? ¿Qué probó? Sabía multiplicar. Puedo hacer un horario básico bien como adulto. ¿ Realmente valía la pena traumatizarme y lograr que asociara las matemáticas con niveles intensos de estrés en un intento de hacerme vomitar cálculos básicos en el lapso de cinco minutos? ¿Cómo es eso útil?

Y lo que lo empeora es que nunca hicieron algo así en ningún otro tema . No recuerdo haber tenido que completar pruebas de vocabulario en cinco minutos. No recuerdo tener que trazar el ciclo del agua en cinco minutos.

Entonces, ¿por qué demonios lo hicieron en matemáticas?

No hagas eso.

Ah, además, hacer que las personas “muestren su trabajo” es estúpido para los cálculos básicos. Otra gran frustración que tuve con el tema fue que una vez que superamos el problema de multiplicación cronometrada, nos metimos en una división larga. Lo cual fue fácil porque era simplemente multiplicación inversa. Una vez más, podría hacer multiplicaciones si no estuvieras respirando en mi maldito cuello. Entonces, si tiene 153 dividido por 7, solo tiene que contar cuántas veces 7 entra en 153 y lo que quede es el resto.

Bien vale. 7 x 10 = 70 y 70 x 2 = 140, que es casi 153, así que si calzo 7 allí de nuevo obtengo 147 pero si agrego otro 7 es 154, que es demasiado, por lo que la respuesta es 21 con un resto de 6. I podría hacer eso en mi cabeza. Fácil.

Excepto si no escribe todo esto, de la manera exacta en que quieren que lo haga, sigue siendo incorrecto incluso si su respuesta es correcta . Qué carajo.

Eso también me molestó hasta el infinito. Entonces, al final del tercer grado, decidí que las matemáticas estaban dirigidas por un grupo de fascistas que eran malvados que ni siquiera te daban crédito si tu respuesta era correcta .

Sí. La pasé mal.

¡Arregla eso, escritores de currículum!

No soy un experto en matemáticas, así que no puedo profundizar en temas particulares, pero puedo decir lo que creo que habría sido un mejor uso del tiempo de la mayoría de los estudiantes en comparación con lo que se me exigía tomar. Se me pidió que tomara álgebra I, geometría, álgebra II y precalc. Mi escuela era demasiado pequeña para ofrecer cálculo.

Obviamente, el álgebra es absolutamente esencial, por lo que dejaría esa parte, excepto que creo que podría haber sido enseñado antes, comenzando en la secundaria y no esperando hasta HS. También dejaría la geometría, pero no ordenaría pre-calc. En cambio, me enfocaría en temas mucho más prácticos con sabor a matemáticas, como algunas probabilidades y estadísticas básicas, y finanzas personales y economía básica. Los estudiantes que no continúen con los campos STEM no estarán peor por no tomar pre-calc o cálculo. Pero una comprensión básica de las estadísticas o las finanzas personales será útil en la vida para ayudar a las personas a navegar por la vida y estar mejor equipados para comprender los datos en cualquier carrera que terminen y para evaluar la información en las noticias. Entonces los temas son mucho más relevantes universalmente. Hará que los adultos eventuales sean mejores ciudadanos que estén mejor preparados para un mercado laboral con mucha información. Entiendo que los estudiantes orientados a STEM todavía podrían necesitar tomar las otras materias, pero yo haría esas opcionales o parte de un conjunto de temas relacionados con las matemáticas “elija uno de estos” más allá de los cursos requeridos. Haría que las estadísticas básicas sean obligatorias.

Un modelo de aula invertida. De manera similar, si no es el uso real de la instrucción en video de la Academia Khan y las prácticas de secuencia de desarrollo de la fuerza de la pregunta, entonces, en el taller grupal de matemáticas, haga el trabajo de verificación, discusión sobre cómo esto se relaciona con las prácticas del mundo real y finalmente la evaluación. Repita la secuencia para cada asignatura, nivel y estándar.

Sería Kumon Math con un instructor certificado que está calificado para determinar cuándo la clase ha dominado un concepto y está listo para pasar al siguiente concepto. Hay 4 millones de estudiantes en todo el mundo aprendiendo matemáticas de esta manera en este momento, excepto de forma individual en los Centros Kumon.

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