¿Cuál es un ejemplo de un espacio vectorial para el que no existe un producto interno?

Answer 1

Cada espacio vectorial tiene una base (si acepta el axioma de elección), y cada espacio vectorial real y complejo con una base tiene al menos un producto interno.

(Dados dos vectores, ellos y su suma son sumas de un número finito de esos elementos básicos, por lo que puede usar la definición habitual donde el producto interno de [math] \ sum v_i \ mathbf e_i [/ ​​math] y [math] \ sum w_i \ mathbf e_i [/ ​​math] es [math] \ sum v_i \ overline {w_i} [/ math]. La barra de arriba [math] w_i [/ ​​math] solo es necesaria para espacios vectoriales complejos).

El problema es que los espacios vectoriales tienen infinitas bases diferentes y cada base proporciona un producto interno diferente.

Un espacio interno del producto tiene más estructura que un espacio vectorial, y usted elige esa estructura (el producto interno) dependiendo de para qué esté usando el producto interno.

Answer 2

Cualquier espacio vectorial normado donde la norma no se puede derivar de un producto interno. Un ejemplo es el espacio vectorial sobre [math] \ mathbb C ^ n [/ math] equipado con la norma max [math] \ | \ mathbf x \ | _ {\ infty} = \ max_ {1 \ le i \ le n } | x_i | [/ math]. La norma máxima no corresponde a ningún producto interno.