¿Es posible obtener un producto de dos matrices, A y B, que es igual para AB y BA y no es igual a I?

Answer 1

Varias de las otras respuestas han sugerido [matemáticas] A = aI, B = bI, ab \ neq 1 [/ matemáticas] como soluciones, ya que cada elemento diagonal de [matemáticas] AB, BA [/ matemáticas] sería igual a [matemáticas] ab [/ math], y por lo tanto tienes [math] AB = BA \ neq I [/ math].

Pero lo podemos hacer mejor. Deje que [matemática] A, B [/ matemática] sean matrices diagonales: los únicos elementos distintos de cero están a lo largo de la diagonal principal. En ese caso, el producto [matemática] AB [/ matemática] es una matriz diagonal donde cada elemento diagonal es el producto de los dos elementos diagonales correspondientes de [matemática] A, B [/ matemática]. Como tal, dado que la multiplicación de elementos de campo es conmutativa, tiene [matemática] AB = BA \ neq I [/ matemática] siempre que no todos los elementos diagonales correspondientes sean recíprocos.

Pero lo podemos hacer mejor.

Deje que [matemáticas] A ‘, B’ [/ matemáticas] sean matrices diagonales. Deje que [math] C [/ math] sea cualquier matriz invertible, con [math] C ^ {- 1} [/ math] inversa. Entonces deje que [math] A = CA’C ^ {- 1}, B = CA’C ^ {- 1} [/ math]. [matemáticas] A, B [/ matemáticas] no son, en general, matrices diagonales, y en general no son iguales a [matemáticas] I [/ matemáticas].

Pero tienes [matemáticas] AB = CA’C ^ {- 1} CB’C ^ {- 1} = CA’B’C ^ {- 1} = CB’A’C ^ {- 1} = CB’C ^ {- 1} CA’C ^ {- 1} = BA [/ matemáticas].

Answer 2

Un par de matrices diagonales de 2 × 2 sin identidad tendrán habitualmente la propiedad de que AB = BA, pero ni ellos ni su producto son I.

Ex. [matemáticas] A = [[2,0], [0,2]] y B = [[3,0], [0,3]] [/ matemáticas]

Answer 3

sí, y el conjunto de matrices cuadradas como A * B = B * A es un campo s

Answer 4

Tome cualquier par A, C de matrices inversas, de modo que AC = CA = I. Ahora deje B = 2C. Entonces AB = BA pero AB no es la identidad.

Answer 5

Dada una matriz cuadrada A, tome B = AA

Para estas matrices, AB = BA

Answer 6

Sí, por ejemplo si A = k * I (matriz diagonal con los mismos valores en diagonal) entonces A * B = B * A = k * B para cualquier matriz B.