Pero la eliminación gaussiana sí cambia el determinante de la matriz original. Lo que no cambia es la solución a un sistema de ecuaciones.
Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones. Podemos poner todos los coeficientes en una matriz [matemática] A [/ matemática], todas las variables en el vector [matemática] x [/ matemática] y todos los términos constantes en el vector [matemática] b [/ matemática] . Entonces, nuestro sistema es un problema de álgebra lineal de matriz-vector-vector
[matemáticas] Ax = b [/ matemáticas]
La eliminación de Gauss-Jordan se basa en las operaciones de la matriz elemental.
- Si [matemática] \ det (ADA ^ T) = \ det (D) [/ matemática], donde A es una matriz m * n (m <n) y D es una matriz diagonal, ¿qué tipo de condición es que la matriz A debe estar satisfecho?
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- Intercambiando dos filas
- La matriz correspondiente es una matriz de permutación
- Esto voltea el signo del determinante
- Multiplicar una fila por una constante
- La matriz correspondiente es una matriz de identidad con una de las reemplazadas por su constante
- Esto multiplica el determinante por su valor constante.
- Agregar una fila a otra fila
- La matriz correspondiente es una matriz de identidad con una diagonal fuera de 1.
- Estas son matrices de corte y no cambian el determinante.
Cada operación elemental es lo mismo que multiplicar ambos lados de nuestra ecuación lineal por la matriz correspondiente
Por ejemplo
[matemáticas] Ax = b \ rightarrow E_1 Ax = E_1 b \ rightarrow E_2 E_1 Ax = E_2 E_1 b \ rightarrow … [/ math]
Siempre podemos usar la Eliminación Gaussiana en una matriz cuadrada para reducirla a la matriz de identidad o a una matriz con una fila de todos los ceros. Así que claramente no conserva determinante. El nuevo determinante es el producto del original y de las operaciones elementales.
[matemáticas] \ det (E_n… E_2 E_1 A) = \ det (E_n)… \ det (E_2) \ det (E_1) \ det (A) [/ matemáticas]
Como referencia, puede consultar la página de Wikipedia en Matrices elementales
Nota: Por lo general, combinamos las dos últimas operaciones en una operación que agrega un múltiplo de una fila a otra. Esto es lo mismo que multiplicar una fila por una constante, agregarla a otra fila y luego dividir una fila por esa constante. Esta matriz también es una matriz de corte y tiene una determinante.
Puede reducir su matriz de coeficientes a una matriz diagonal sin cambiar el determinante. Sin embargo, generalmente nos gusta que esté en forma escalonada reducida.