¿Es posible multiplicar un polinomio matricial por una matriz no invertible? Si es posible, ¿cómo puedo obtener la ecuación original nuevamente?

Si [math] A [/ math] es cualquier matriz y [math] B [/ math] es una matriz singular (cuadrada), entonces nunca podrá recuperar [math] A [/ math] de [math] AB [/ math ]

La razón es que cualquier matriz cuadrada no invertible no es ni inyectiva ni sobreyectiva . Una matriz [matemática] M [/ matemática] es inyectiva si se cumple lo siguiente: si [matemática] MX = MI [/ matemática] para algunas dos matrices [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática] , entonces [matemáticas] X = Y [/ matemáticas]. Por otro lado, una matriz [matemática] M [/ matemática] es sobreyectiva si, siempre que [matemática] XM = YM [/ matemática] para algunas dos matrices [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática ], luego [matemáticas] X = Y [/ matemáticas].

Dado que [matemática] B [/ matemática] es singular, entonces [matemática] AB = CB [/ matemática] no implica necesariamente [matemática] A = C [/ matemática], ya que [matemática] B [/ matemática] no es sobreyectiva . Esto significa que, dado [matemática] AB [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática], no puedo encontrar únicamente [matemática] A [/ matemática].

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Supongamos que la matriz multiplicadora es la matriz singular más simple que consiste en todos los 0.

El resultado después de multiplicar también es todos ceros.

No hay forma de recuperar la matriz original, más que saber que 0 * x = 0 le permite descubrir x.

por lo tanto, no es posible en general encontrar X dado A * X cuando A es singular. Pero puede extraer información sobre X cuando no todos los valores propios de A son cero. Sin embargo, eso nos lleva un poco lejos de su pregunta.

Dhananjaya Jayasundara

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