Al igual que todos los demás observables en mecánica cuántica, el momento lineal es un operador espacial de Hilbert autoadjunto. Las mediciones de los observables producen valores propios del operador cuando el espectro del operador tiene un espectro puntual (a menudo llamado espectro discreto en física). Sin embargo, algunos observables tienen solo un espectro continuo. Tomando, por simplicidad, la mecánica cuántica no relativista de una partícula en una dimensión espacial en la imagen de Schrodinger, supondré que la intención de su pregunta es por qué el operador de momento lineal no tiene un espectro de puntos. La realización del espacio de Hilbert será [matemática] L ^ {2} (\ mathbb {R}) [/ matemática], el espacio de funciones complejas valoradas de una variable real cuyo módulo al cuadrado es Lebesgue integrable sobre [matemática] \ mathbb { R} [/ matemáticas]. El operador de momento lineal es
[matemáticas] \ widehat {p} = – i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x}. [/ matemática]
Suponga que el operador de momento lineal tiene un espectro de puntos y denote sus valores propios por [math] p [/ math]. Deje que [math] \ psi [/ math] sea un vector propio correspondiente a [math] p [/ math]. La ecuación de valor propio es
[matemáticas] \ widehat {p} \ psi = p \ psi, [/ matemáticas]
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o [math] -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} \ psi (x, t) = p \ psi (x, t). [/ math]
Una solución es [math] \ psi (x, t) = Ce ^ {\ frac {i} {\ hbar} (px-Et)} [/ math],
que es la función de onda para una partícula libre de momento lineal [matemática] p [/ matemática] y energía [matemática] E [/ matemática]. Esta función de onda no está en el espacio de Hilbert porque no cumple la condición
[math] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi ^ {\ ast} (x, t) \ psi (x, t) dx <\ infty [/ math] requerido para [math] L ^ { 2} (\ mathbb {R}) [/ math].
Esto contradice la suposición de que el operador de momento lineal tiene una parte de su espectro que es un espectro puntual. En consecuencia, el espectro del operador de momento lineal es continuo, no “discreto”.