La pregunta es hacer lo siguiente.
Según el teorema de Cayley-Hamilton, si el polinomio característico de la matriz [matemática] M [/ matemática] es [matemática] x ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + a_ {n-2} x ^ {n-2} + \ cdots + a_0 [/ math], luego
[matemáticas] M ^ n + a_ {n-1} M ^ {n-1} + a_ {n-2} M ^ {n-2} + \ cdots + a_0 I = 0. [/ matemáticas]
Por lo tanto
- ¿Cómo calcula Numpy el pseudo inverso de una matriz?
- ¿Qué es el álgebra vectorial en matemáticas?
- ¿Cuáles son algunas aplicaciones de la vida real de valores propios o vectores propios?
- ¿Se sobrepasa el álgebra?
- ¿Por qué la eliminación gaussiana no cambia el determinante (si el determinante representa el volumen)?
[matemáticas] M ^ n + a_ {n-1} M ^ {n-1} + a_ {n-2} M ^ {n-2} + \ cdots + a_1 M = -a_0 I [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] M ^ {n-1} + a_ {n-1} M ^ {n-2} + a_ {n-2} M ^ {n-3} + \ cdots + a_1 I = -a_0 M ^ { -1} [/ matemáticas]
y por lo tanto
[matemáticas] M ^ {- 1} = – \ frac {1} {a_0} \ left (M ^ {n-1} + a_ {n-1} M ^ {n-2} + a_ {n-2} M ^ {n-3} + \ cdots + a_1 I \ right). [/ Math]
Sin embargo, el último paso solo se puede realizar si [math] a_0 \ ne 0 [/ math]. Entonces la pregunta es: ¿cómo encuentras [matemáticas] M ^ {- 1} [/ matemáticas] si [matemáticas] a_0 = 0 [/ matemáticas]?
La respuesta es que la ecuación característica tiene un término constante cero si y solo si la matriz no es invertible. De hecho, el término constante del polinomio característico es igual a [matemática] (- 1) ^ n [/ matemática] veces el determinante de la matriz. Por lo tanto, si el término constante es cero, entonces la matriz tiene cero determinante, es decir, es singular. Por el contrario, si el término constante no es cero, entonces la matriz tiene un determinante distinto de cero, es decir, es invertible.
Por supuesto, no puede encontrar el inverso de una matriz que no tiene inverso, y el teorema de Cayley-Hamilton claramente le impide hacerlo.