Si una matriz tiene un valor propio cero, ¿cómo sabe que su matriz adjunta también tiene un valor propio cero?

Answer 1

Sabemos mucho más que eso. Si [math] M [/ math] es una matriz singular [math] n \ times n [/ math], por lo que tiene un valor propio cero, no solo sabemos que el adjunto de [math] M [/ math], [math ] \ operatorname {adj} (M) [/ math], es singular, pero que la multiplicidad del valor propio cero de [math] \ operatorname {adj} (M) [/ math] es enorme: puede ser [math] n-1 [/ matemática] o [matemática] n [/ matemática]. De hecho, si la multiplicidad del valor propio cero de [math] M [/ math] es [math] 1 [/ math], entonces [math] \ operatorname {adj} (M) [/ math] tiene rango [math] 1 [/ math] (por lo que el adyuvante tiene nulidad [math] n-1 [/ math]); de lo contrario, [math] \ operatorname {adj} (M) [/ math] es la matriz cero, que tiene nulidad [math] n [/ math].

De hecho, probé este resultado en mi Ph.D. tesis, aunque es un resultado bien conocido en álgebra lineal. No obstante, decidí probarlo para mostrar cómo se puede usar el rango determinante para simplificar las pruebas. El rango determinante de una matriz es el tamaño de la submatriz cuadrada más grande que tiene un determinante distinto de cero; Se puede demostrar que esto siempre es igual al rango de matriz habitual.

Aquí hay una foto de la prueba de tesis, tomada de la versión presentada (es decir, no la finalizada, es por eso que hay algunos garabatos a lápiz).

Answer 2

Deje que [math] \ text {adj} (A) [/ math] sea el adjunto de una matriz [math] A. [/ Math]

Tenemos la identidad [math] \ text {adj} (A) A = \ text {det} (A) I [/ math]

Si A tiene un valor propio cero, significa que no es invertible, entonces [matemática] \ text {det} (A) = 0 [/ matemática]

Entonces tenemos [math] \ text {adj} (A) A = 0 [/ math]

[math] \ text {adj} (A) [/ math] no es invertible debido a la igualdad previa (cada columna distinta de cero de [math] A [/ math] es una solución distinta de cero de [math] \ text {adj} ( A) X = 0). [/ math] Por lo tanto, tiene un valor propio cero.

Answer 3

Como se plantea en la pregunta, dejamos que [math] A [/ math] sea una matriz asociada con un valor propio, [math] \ lambda_ {n} = 0 [/ math]. Nos hace bien recordar primero la definición de una matriz adjunta:

[matemáticas] adj (A) = (M_ {ij}) ^ {T} [/ matemáticas]

… donde [math] M_ {ij} [/ math] es la matriz formada por los menores de [math] A [/ math] (ver: Menor (álgebra lineal) – Wikipedia). Lo más importante a tener en cuenta sobre [matemáticas] M_ {ij} [/ matemáticas] en nuestro caso es que depende del determinante de [matemáticas] A [/ matemáticas]; es decir, si [matemática] \ det (A) = 0 [/ matemática] entonces [matemática] \ det (M_ {ij}) = 0 [/ matemática].

Ahora, también recordamos que si [math] A [/ math] está asociado con un cero [math] \ lambda_ {n} [/ math] entonces [math] \ det (A) = 0 [/ math] desde [math ] \ det (A) [/ math] también es igual al producto de todos sus valores propios.

Ahora podemos abordar directamente la pregunta:

Como [math] A [/ math] está asociado con [math] \ lambda_ {n} = 0 [/ math], se deduce que [math] \ det (A) = 0 [/ math] que también implica que [math ] \ det (M_ {ij}) = 0 [/ math]. Como también sabemos que

[matemáticas] \ det (M_ {ij}) = \ det ((M_ {ij}) ^ {T}) = \ det (adj (A)) [/ matemáticas]

también podemos concluir que [math] \ det (adj (A)) = 0 [/ math], lo que también implica que [math] adj (A) [/ math] también está asociado con un valor propio cero. Por lo tanto, sabemos que si [math] A [/ math] tiene un valor propio cero, entonces [math] adj (A) [/ math] también tiene un valor propio cero.