¿Por qué los componentes del vector de resolución son siempre perpendiculares?
Porque es más fácil tratar con componentes perpendiculares.
Dependiendo del nivel de matemática o física con el que se esté tratando, los conceptos de vectores, componentes e incluso perpendiculares pueden cambiar, en formas que generalmente son compatibles y, a menudo, se generalizan entre sí.
Por ejemplo, una forma más general de ver los componentes del vector es el concepto de una “base”: un conjunto de vectores linealmente independientes. Si un vector puede expresarse como una combinación lineal de un conjunto de vectores básicos, esa expresión es única. Los componentes perpendiculares de los que está hablando son una base, pero una base especial donde todos los vectores en la base son mutuamente perpendiculares. Es aún más especial, ya que es probable que cada vector base también tenga una longitud unitaria. Este tipo de base se denomina “base ortonormal”. La parte “orto” significa que cada vector base es “ortogonal” (perpendicular) a los demás, y la parte “normal” significa que cada vector base está “normalizado”, o de longitud unitaria.
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¿Pero por qué es útil?
Una herramienta común utilizada para trabajar con vectores es el “producto de punto” (o el “producto interno”), que tiene las siguientes propiedades:
- Es conmutativo: [matemáticas] \ vec {a} \ cdot \ vec {b} = \ vec {b} \ cdot \ vec {a} [/ matemáticas]
- Es bilineal
- [matemáticas] \ vec {a} \ cdot (b \ vec {b} + c \ vec {c}) = b \ vec {a} \ cdot \ vec {b} + c \ vec {a} \ cdot \ vec {c} [/ matemáticas]
- [matemáticas] (a \ vec a + b \ vec b) \ cdot \ vec c = a \ vec a \ cdot \ vec c + b \ vec b \ cdot \ vec c [/ math]
La combinación de esas dos propiedades le permite expresar un producto de puntos.
[matemáticas] \ begin {align} \ vec a \ cdot \ vec b & = (a_i \ hat i + a_j \ hat j) \ cdot (b_i \ hat i + b_j \ hat j) \\
& = a_ib_i \ hat i \ cdot \ hat i
+ a_ib_j \ hat i \ cdot \ hat j
+ a_jb_i \ hat i \ cdot \ hat j
+ a_jb_j \ hat j \ cdot \ hat j)
\ end {align} [/ math]
Para simplificar esto, necesita saber cuáles son los productos de punto de los vectores base entre sí. Si [math] \ hat i, \ hat j [/ math] son ortonormales, entonces es fácil: [math] \ hat i \ cdot \ hat i = \ hat j \ cdot \ hat j = 1, \ hat i \ cdot \ hat j = \ hat j \ cdot \ hat i = 0 [/ math]. Por lo tanto, dos de los términos en el producto escalar se caen, y los otros dos términos se simplifican inmediatamente. Entonces obtienes (para una base ortonormal), [math] \ vec a \ cdot \ vec b = a_ib_i + a_jb_j [/ math].
Eso es mucho más fácil de trabajar.
Si tiene un producto punto y una base, siempre es posible crear una base ortonormal, por lo que siempre es posible trabajar en uno de los que desee.
Sin embargo, hay algunos lugares donde es más conveniente trabajar con vectores base que no son ortonormales. En la relatividad general, por ejemplo, los vectores básicos convenientes cambian en cada ubicación y, en general, no permanecen ortonormales. Como tal, la relatividad general mantiene un valor (tensorial) [math] g_ {ij} [/ math], que es potencialmente diferente en cada ubicación, que codifica los productos de punto de los vectores base en ese punto. Prácticamente todos los cálculos correspondientes a un producto de puntos incluyen [math] g_ {ij} [/ math] para que todo funcione.