¿Qué es un vector?

Answer 1

En términos del mundo real, un vector es una cantidad que tiene magnitud y dirección, como la velocidad. Considere que puedo viajar a 15 metros por segundo, pero eso no le dice a dónde voy. 15 metros por segundo es una medida de velocidad, no de velocidad. Si sabes dónde estoy y te digo que voy hacia el norte a 15 metros por segundo, puedes averiguar dónde terminaré. Esta es la velocidad: tanto la dirección del norte como la velocidad de 15 metros por segundo. Otras cantidades de vectores en el mundo real incluyen desplazamiento, aceleración y fuerza: todos los cuales tienen una magnitud y una dirección. Sin embargo, estos son solo casos especiales de vectores.

En términos abstractos es un poco más complicado. Estrictamente hablando, un vector es cualquier elemento de un espacio vectorial. La definición de un espacio vectorial es algo complicada, pero intentaré explicarlo. Creo que la respuesta de Yoann no es del todo precisa, ya que el producto cartesiano de dos conjuntos (donde “toma dos números naturales y los pone en orden”) no es necesariamente un espacio vectorial. Para entender un vector, primero debes entender qué es un escalar.

Se dice que cada espacio vectorial está “sobre un campo escalar”. Un campo es básicamente un conjunto de objetos que se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (excepto 0), y donde algunas propiedades agradables se mantienen como poder multiplicar y agregar en cualquier orden. La mayoría de las veces, el campo escalar con el que trabaja son los números reales, pero también puede ser el conjunto de números complejos, el conjunto de números racionales o algún otro tipo de conjunto completamente similar al conjunto de posibles residuos que obtiene cuando divide un número natural entre 7.

Ahora, un espacio vectorial es otro conjunto de objetos que puede agregar y multiplicar por escalares. La definición exacta es la siguiente:

Un espacio vectorial sobre un campo F es un conjunto V junto con dos operaciones, la suma vectorial y la multiplicación escalar de manera que para los vectores u, v y w en V, y los escalares a y b en F:

1. u + (v + w) = (u + v) + w
2. u + v = v + w
3. Hay un vector llamado 0 tal que 0 + v = v para cualquier vector v en V
4. Para cualquier vector v hay otro vector llamado -v tal que v + (- v) = 0
5. a * (b * v) = (a * b) * v
6. 1 * v = v (1 es parte del campo escalar)
7. a * (u + v) = a * u + a * v
8. (a + b) * v = a * v + b * v

Estas son todas propiedades bastante básicas. Cualquier conjunto de objetos que pueda definir además y multiplicación escalar de esta manera con referencia a algún campo escalar se llama espacio vectorial, y cualquier elemento de un espacio vectorial se llama vector. Existen muchos tipos diferentes de espacios vectoriales. Los puntos en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] forman vectores, pero de hecho, las matrices [math] n \ times n [/ math] también forman un espacio vectorial. El conjunto de todas las funciones desde [math] \ mathbb {R} [/ math] a [math] \ mathbb {R} [/ math] es un espacio vectorial, y el conjunto de polinomios es un subespacio de este. Incluso el conjunto de secuencias convergentes infinitas de números reales es en sí mismo un espacio vectorial.

A veces puedes definir lo que significa tener una longitud de un vector, llamada norma, pero esta noción no es realmente fundamental para lo que hace que un vector sea un vector, y no todos los espacios vectoriales tienen una norma definida. A veces puedes definir el ángulo entre dos vectores usando lo que se llama un producto escalar (como el producto de puntos), pero no todos los espacios vectoriales tienen esta noción tampoco. Normalmente no puede multiplicar vectores juntos, pero algunos espacios vectoriales le permiten multiplicar vectores, y esos espacios vectoriales se denominan “álgebras”. Los vectores siempre tienen una noción de independencia lineal, y los espacios vectoriales siempre tienen dimensión, incluso si es de dimensión infinita.

Básicamente, un espacio vectorial es cualquier conjunto de objetos (vectores) que puede sumar y multiplicar por escalares, siempre que satisfagan esas propiedades básicas anteriores. Es una noción fundamental en matemáticas cuyas aplicaciones son vastas y se utilizan en muchas áreas de investigación en curso.

Answer 2

La palabra “vector” significa cosas diferentes en diferentes contextos.

Para un matemático , un vector es un tipo de objeto abstracto que se puede agregar y escalar , devolviéndote el mismo tipo de objeto (sujeto a ciertas reglas con las que no te aburriré aquí). Por ejemplo:

• Los pares ordenados de números reales son vectores. Puede agregarlos así: [matemática] (1, 2) + (3, 4) = (4, 6) [/ matemática]. Puede escalarlos así: [matemáticas] 2 (1, 2) = (2, 4) [/ matemáticas].
• Los triples ordenados de números reales también son vectores, de manera análoga. Entonces se ordenan 4-tuplas y 5-tuplas y así sucesivamente. Ni siquiera tenemos que usar números reales; Podemos usar números racionales o números complejos.
• Las flechas en el espacio 2D con longitud y dirección pero sin ubicación son vectores. Para escalar una flecha, multiplique su longitud por el factor de escala. Para agregar dos flechas, colóquelas cabeza a cola, como cualquier libro de texto de física le dirá. Del mismo modo, las flechas en el espacio 3D son vectores, y así sucesivamente.
• Las funciones con valor real de una variable real son vectores. Para agregar dos funciones juntas, agréguelas puntiagudas, por ejemplo, si [math] f (x) = \ sin x [/ math] y [math] g (x) = \ cos x [/ math], luego [math] h = f + g [/ math] satisface [math] h (x) = \ sin x + \ cos x [/ math]. La escala es similar: si [matemática] f (x) = \ sen x [/ matemática], entonces [matemática] h = kf [/ matemática] satisface [matemática] h (x) = k \ sen x [/ matemática]. Escalar una función aplica un estiramiento o compresión vertical a su gráfico.

Un vector matemático existe en sí mismo, independientemente de cualquier realidad física. Los vectores en física son diferentes. Todos los vectores físicos son vectores matemáticos, pero no al revés . Para un físico , un vector es una lista de coordenadas reales relativas al sistema de coordenadas del observador que describe un objeto físico con magnitud y dirección . Esta definición es mucho más restrictiva. Exploremos las implicaciones de estos criterios:

• Al contrario de lo que te dicen en las clases introductorias de física, una flecha con su magnitud y dirección pero sin ubicación no es un vector físico. Las coordenadas de la flecha constituyen el vector.
• Debido a que un vector físico es una lista de coordenadas relativas al marco de referencia del observador, debe tener exactamente tantos componentes como nuestro marco de referencia. Esto es generalmente tres componentes; cuatro, si estamos haciendo relatividad.
• Una función no puede describirse como una lista de coordenadas, por lo que las funciones no se consideran vectores en física. (Sin embargo, la función como vector en matemáticas es un concepto clave en la mecánica cuántica).
• Un vector con componentes complejos no se considera un vector en física. Como resultado, solo los escalares complejos generalmente tienen algún significado en física, y solo representan una fase además de una magnitud real. No tiene mucho sentido que cada coordenada en un vector tenga una fase separada.
• Lo más importante: cuando digo que un vector describe las coordenadas de un objeto físico en relación con nuestro sistema de coordenadas , quiero decir que las coordenadas dependen del sistema de coordenadas de la misma manera que la ubicación de un punto depende del sistema de coordenadas. Por ejemplo, si me parece que un objeto está ubicado en [matemáticas] (3, 4, 5) [/ matemáticas] m, y giro 90 grados hacia la derecha, entonces el objeto ahora estará ubicado en [matemáticas] ( -4, 3, 5) [/ math] m en relación con mi nuevo sistema de coordenadas. La velocidad del objeto depende del sistema de coordenadas de la misma manera: si su velocidad es [matemática] (3, 4, 5) [/ matemática] m / sy giro 90 grados a la derecha, su velocidad ahora aparecerá ser [matemáticas] (- 4, 3, 5) [/ matemáticas] m / s en relación con mi nuevo sistema de coordenadas. Lo mismo se aplica al impulso del objeto. La posición, la velocidad y el momento son vectores. Técnicamente, decimos que se requiere que los componentes de un vector se transformen de manera contraria con el sistema de coordenadas, lo que significa que multiplicamos a la izquierda el vector por el inverso de la matriz de cambio de base correspondiente al cambio en el sistema de coordenadas.
• Por otro lado, digamos que las dimensiones de un cuadro son [matemáticas] 3 \ veces 4 \ veces 5 [/ matemáticas], y giro mi sistema de coordenadas. Pues no importa; Las dimensiones de la caja siguen siendo las mismas. No se convierten en [matemáticas] -4 \ veces 3 \ veces 5 [/ matemáticas]. Por lo tanto, no podemos formar un vector físico utilizando las dimensiones del cuadro como coordenadas. Cada dimensión del cuadro, que es la longitud de un segmento de línea, es en realidad un escalar, y los escalares no cambian junto con un sistema de coordenadas. No puedes juntar tres escalares para obtener un vector. Los componentes de un vector no son escalares, porque pueden cambiar junto con el sistema de coordenadas. Del mismo modo, no puedo formar un vector usando el volumen, la masa y la temperatura de un objeto como componentes.