En cualquier región del espacio vectorial donde el rizo es idénticamente cero, es localmente conservador. Cualquier bucle integral en el interior de esa región es cero.
Para una visión más general de las cosas, mire el Teorema de Stokes.
Teorema de Stokes para integrales de bucle en un campo vectorial
[matemáticas] \ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} F \ cdot dr = \ int \ int _ {\ Sigma} \ nabla \ times F \ cdot d \ Sigma [/ math]
- ¿Cómo integramos un vector como (6t ^ 2 I + 7t J) dt?
- Si [math] r = e_i x_i \ space y \ space r ^ 2 = x_i x_i [/ math], entonces ¿cómo muestro que [math] \ nabla * \ nabla r ^ n = n (n + 1) r ^ {n-2} [/ matemáticas]?
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- ¿Por qué el momento es un vector? Sé que p = mv, pero necesito una respuesta filosófica.
Lo que esto dice es que la integral del bucle es lo mismo que integrar el rizo (normal) en la superficie cerrada. Más vector de rizo que fluye implica una integral de bucle más grande. Si el rizo es cero, entonces la integral del bucle es cero.
Este es un caso especial del teorema general de Stokes
[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {\ partial \ Omega} \ omega = \ int _ {\ Omega} d \ omega [/ math]
Esto también abarca el teorema fundamental del cálculo, el teorema de Green, el teorema de divergencia de Gauss, el teorema integral de la trayectoria, etc. Básicamente dice que cuando integra el diferencial de una forma sobre una variedad orientable, es lo mismo que integrar esa forma sobre el límite.