Dos vectores que tienen igual magnitud. A forma un ángulo theta entre sí. encuentra la magnitud y dirección de la resultante.

Answer 1

Agreguemos los vectores de punta a cola para obtener el resultado:

Ahora tenemos un triángulo simple para resolver. Usa la ley del coseno para determinar la magnitud de la resultante:

[matemáticas] R ^ 2 = A ^ 2 + A ^ 2-2 (A) (A) cos (180- \ theta) [/ matemáticas]

pero [matemáticas] cos (180- \ theta) = – cos \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] [matemáticas] R ^ 2 = A ^ 2 + A ^ 2-2 (A) (A) (- cos \ theta) [/ matemáticas]

o

[matemáticas] R ^ 2 = A ^ 2 + A ^ 2 + 2 (A) (A) cos \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] R ^ 2 = 2A ^ 2 + 2 (A ^ 2) cos \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] R ^ 2 = 2A ^ 2 (1 + cos \ theta) [/ matemáticas]

[matemáticas] R = A \ sqrt {2 (1 + cos \ theta)} [/ matemáticas]

Answer 2

Interesante pregunta. Una respuesta no solo sale de mi mente como suele ocurrir con estos problemas aparentemente triviales, así que hagamos el álgebra. Tenemos dos vectores [matemática] \ langle a \ cos \ theta, a \ sin \ theta \ rangle [/ math] y [math] \ langle b \ cos (\ theta + \ alpha), b \ sin (\ theta + \ alpha) \ rangle [/ math], usando una conversión de coordenadas polares, donde [math] a [/ math] es la norma del primer vector, [math] b [/ math] es la norma del segundo, [ math] \ theta [/ math] es el ángulo en el que se gira el primer vector desde el eje x, y [math] \ alpha [/ math] es el ángulo entre los dos vectores.

Dado que las rotaciones no cambian la longitud de un vector (fácil de ver en el espacio euclidiano), podemos comenzar desde un ángulo arbitrario sin pérdida de generalidad. Así que escojamos uno realmente conveniente: [math] \ theta = 0 [/ math].

Nuestros dos vectores se convierten en [matemática] \ langle a, 0 \ rangle [/ math] y [math] \ langle b \ cos \ alpha, b \ sin \ alpha \ rangle [/ math]. Agregando, el resultado es [matemática] \ langle a + b \ cos \ alpha, b \ sin \ alpha \ rangle [/ math]. Tomando la norma de este vector, [matemáticas] L = \ sqrt {a ^ 2 + 2ab \ cos \ alpha + b ^ 2} [/ matemáticas].

Puede reconocer el término medio como el producto interno euclidiano entre los dos vectores; esto proviene de la definición de una norma en un espacio interno del producto: [math] \ lVert \ mathbf {v} \ rVert = \ sqrt {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}} [/ math]. Puede usar las propiedades de los productos internos en lugar del proceso descrito anteriormente, definiendo la resultante como [math] \ mathbf {v} = \ mathbf {a} + \ mathbf {b} [/ math] y procediendo a evaluar [math] \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} [/ math].

Bien, apliquemos la condición de que las longitudes de ambos vectores son iguales. Recuerde que [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​las longitudes del primer y segundo vectores, respectivamente. Entonces [matemáticas] a = b [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] L = \ sqrt {2a ^ 2 + 2a ^ 2 \ cos \ alpha} [/ math]. Entonces [matemáticas] L = a \ sqrt {2 + 2 \ cos \ alpha} [/ matemáticas].

Al hacer una comprobación de cordura para ver si la fórmula se aplica donde [matemática] \ alpha = 0 [/ matemática] y [matemática] \ alpha = \ frac {\ pi} {2} [/ matemática], vemos que el primer caso da una magnitud de [math] 2a [/ math] y la segunda una magnitud de [math] a \ sqrt {2} [/ math], como se esperaba.

Answer 3

Es sencillo !!!

Debe usar una ley de paralelogramo de adición de vectores. Para eso, tenemos que colocar 2 vectores en un punto común y completar el paralelogramo. La diagonal del paralelogramo a partir del mismo punto común denota la adición de 2 vectores. Puedes encontrar la longitud de esta diagonal usando algo de trigonometría. Es la magnitud del vector resultante lo que equivale a:
V = √ (V1) ^ 2 + (V2) ^ 2 + 2V1V2 * cosθ

Ahora V1 = V2 = A.
Magnitud de un vector resultante
= √2A ^ 2 + 2A ^ 2 * cosθ.
= A√ [2 (1 + cosθ)].

Como ambos vectores son iguales en magnitud, un cuadrilátero formado es un rombo. Sabemos que la diagonal de un rombo divide su ángulo de manera que el vector resultante forma un ángulo (theta / 2) con ambos vectores. Es la dirección de un vector resultante.

Answer 4

Comprendo así la pregunta: “Dos vectores de magnitud A tienen un ángulo theta entre ellos y se suman entre sí. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la resultante?” Los tres vectores forman un triángulo isósceles. Sea la magnitud de la resultante C. Por la ley de los cosenos, C = A (2 (1-cos (theta))) ^ (1/2). La inclinación de la resultante con respecto a cualquier vector de longitud A es (1/2) (pi-theta) radianes porque los tres ángulos tienen que sumar pi pi radianes. Si le gustan los grados como medida de ángulo, reemplace los radianes pi con 180 grados y suponga que theta se expresa en grados.

Answer 5

Deje que ambos vectores tengan una magnitud A entonces,

el resultante sería:

[A ^ 2 + A ^ 2 + 2Acos theeta} ^ 1/2

simplemente poniéndolos directamente en la ley de suma vectorial

y la dirección sería

Tan alfa = (Acos ​​theeta) / (A + Asin theeta)

Answer 6

Puedes usar la fórmula resultante

Bajo la raíz de Psquare + Q square + 2PQ cos theta

P = Q en este caso