¿Por qué la magnitud de un vector nulo es cero?

Answer 1

Es el único valor que tiene sentido. El vector cero permanece el vector cero incluso cuando lo multiplica por cualquier escalar.

En un espacio vectorial normado existe la noción de una norma [matemáticas] \ | \ cdot \ | [/ math] que es el ‘tamaño’ del vector. Las normas tienen las siguientes propiedades

• Las normas nunca son negativas, y solo el vector cero tiene la norma cero.
• [matemáticas] \ | v \ | \ ge 0, \ | v \ | = 0 \ Leftrightarrow v = \ vec {0} [/ math]
• La norma de un vector escalado es el producto del valor absoluto del escalar con la norma del vector.
• [matemáticas] \ | \ alpha v \ | = | \ alpha | \ | v \ | [/ matemáticas]
• La desigualdad del triángulo. La norma de una suma siempre es menor o igual que la suma de las normas.
• [matemáticas] \ | u + v \ | \ le \ | u \ | + \ | v \ | [/ math]

Podemos generalizar esto de muchas maneras. Un espacio seminormed, por ejemplo, permite la existencia de objetos con cero seminorm que no son [math] \ vec {0} [/ math].

Answer 2

La magnitud (norma) de un vector es la longitud de ese vector (suponiendo que proviene de un espacio con una norma), cuya forma puede cambiar dependiendo de las coordenadas en las que se escribe el vector.

Si las coordenadas son cartesianas, la magnitud del vector [math] \ boldsymbol {x} = (x_1, x_2, \ dots, x_n) \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math] viene dada por [math] \ | \ boldsymbol {x} \ | = \ sqrt {x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \ cdots + x_n ^ 2} [/ math].

Si el vector es el vector nulo, cuyos componentes son todos ceros, ¿qué opciones razonables tiene para su magnitud?