¿Qué da exactamente el producto de puntos y qué da el producto cruzado? ¿La respuesta del producto escalar se limita a dos dimensiones, o puede dar la magnitud de un vector que está en la tercera dimensión sin dar su dirección?

Answer 1

El producto punto es un tipo de producto escalar o interno. Toma dos elementos de nuestro espacio vectorial y devuelve un escalar (solo un número). Funciona en cualquier espacio vectorial de cualquier dimensión.

El producto cruzado toma dos elementos del espacio tridimensional [matemática] \ R ^ 3 [/ matemática] y devuelve otro elemento de forma [matemática] \ R ^ 3 [/ matemática] que es perpendicular a los otros dos vectores. El producto cruzado solo tiene sentido en 3 dimensiones.

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[math] V [/ math] es un espacio vectorial, [math] (V, \ langle \ cdot \ rangle) [/ math] es un espacio interno del producto si

para todos [matemáticas] u, v \ en V [/ matemáticas]

• Definitividad Positiva
• [matemáticas] \ langle u, u \ rangle \ ge 0, \ langle u, u \ rangle = 0 \ Rightarrow u = \ vec {0} [/ math]
• Simetría (simetría conjugada compleja)
• [matemáticas] \ langle u, v \ rangle = \ overline {\ langle v, u \ rangle} [/ math]
• Linealidad
• [matemáticas] \ langle \ alpha u, v \ rangle = \ alpha \ langle u, v \ rangle [/ math]

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Si [math] V [/ math] es un espacio euclidiano, entonces el producto de punto es el producto interno definido como

[matemáticas] u \ cdot v = \ langle u, v \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ n u_i v_i [/ ​​math]

El producto escalar de dos vectores es cero si son ortogonales. Más generalmente

[matemáticas] u \ cdot v = \ | u \ | \ | v \ | \ cos (\ theta) [/ math]

El producto punto es el producto de las longitudes y el coseno del ángulo entre ellos. Cuando los vectores apuntan en la misma dirección, el producto escalar se maximiza. Esta regla generaliza a cualquier espacio interno del producto y, por lo tanto, el producto interno codifica la geometría de nuestro espacio.

Answer 2

El producto punto puede entenderse como una medida de qué tan bien se alinea un vector con otro vector. Si dos vectores son perpendiculares (ortogonales), el producto puntual se evalúa a cero.

El producto cruzado puede entenderse como una medida de qué tan bien dos vectores atraviesan un plano. El resultado es un tercer vector que es perpendicular a ambos. Si los dos vectores también son perpendiculares, se obtiene un conjunto de tres vectores ortogonales. En 3-D, esto puede definir tres ejes independientes para una base ortonormal completa.

Tanto el producto escalar como el producto cruzado se pueden aplicar a espacios de más de tres dimensiones o incluso a espacios funcionales. El concepto de ortogonalidad es clave para comprenderlos.

Answer 3

El producto punto es fácil en cualquier cantidad finita de dimensiones. Para dimensiones infinitas es un poco complicado, pero ignóralo. Dos vectores siempre definen un plano (excepto cuando están en línea), y en ese plano hay un ángulo entre ellos. El producto punto es solo el cos de ese ángulo (= +/- 1, si se alinean) multiplicado por las magnitudes de los vectores.

Pero el producto cruzado es mucho más complicado. Solo en tres dimensiones es sencillo. Si los vectores se alinean, da 0. De lo contrario, da el vector único que es ortogonal para ambos (usando la regla de la mano derecha), multiplicado por sus magnitudes, multiplicado por el pecado del ángulo entre ellos. Eso significa que obtendrá un signo diferente si cambia su orden.

En 2 dimensiones, se considera mejor que el producto cruzado da solo un número: magnitudes por pecado.

Para> 3 dimensiones, no hay una sola forma de definir el producto cruzado. Hay diferentes formas de obtener algo similar al caso tridimensional, dependiendo de para qué lo desee.

Solo 7 dimensiones tienen un producto cruzado muy parecido al caso tridimensional, lo creas o no. Esto está relacionado con el hecho de que solo hay 4 álgebras de división: reales, complejas, cuaterniones y octoniones. Los cuaterniones, en 4 dimensiones, dan lugar al producto cruzado tridimensional estándar. Si realmente quieres entender estas cosas, entonces estudia cuaterniones. Los octoniones están en 8 dimensiones. Es por eso que el producto cruzado 7-d se puede definir de manera muy similar al caso 3-d. Hay muchas formas diferentes de hacerlo, ya que hay muchos vectores diferentes ortogonales a los 2 vectores que se cruzan. Pero son casi lo mismo, solo diferentes formas de ordenar las dimensiones adicionales.

Además de ese caso especial de 7-d, en cualquier dimensión> 3, existen básicamente dos formas de generalizar el producto cruzado. (En realidad hay más, ¡pero TMI!)

Primero, podemos seguir cruzando solo 2 vectores. En ese caso, el “producto cruzado” analógico ya no da un vector, sino un subespacio n-2 completo.

O bien, podemos cruzar n-1 vectores. En ese caso, obtenemos el vector ortogonal único para todos ellos.

Se puede decir mucho más, pero TMI ya supongo.

En pocas palabras: si olvida el producto cruzado en cualquiera de las 3 dimensiones, es simple. Y, permítanme mencionar nuevamente, busque “cuaterniones” que son realmente geniales.