¿Cuál es el significado del producto punto ([matemáticas] \ vec {a} \ bullet \ vec {b} = \ left | \ vec {a} \ right | \ left | \ vec {b} \ right | \ cos \ theta [/matemáticas])? ¿Por qué existe tal fórmula?

Answer 1

El producto Vector Dot es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (generalmente vectores de coordenadas) y devuelve un solo número (manteniendo la analogía con la multiplicación de números reales).

Ahora, Let a & b son dos vectores en coordenadas cartesianas 3D

De acuerdo con la Ley de cosenos al triángulo AOB obtenemos,

donde | AB | = | a – b | , | OA | = | a | , | OB | = | b | Entonces,

Entonces, la definición geométrica del Producto Dot es (Del producto Dot – Roblox Wiki )

Para comenzar, tengamos una definición para el producto escalar dados los vectores A y B.

“La proyección escalar de A sobre B multiplicada por la magnitud de B”

“La proyección escalar de B sobre A multiplicada por la magnitud de A”

Por supuesto, esta definición puede hacer que te preguntes qué es una proyección escalar y, lo que es más importante, cómo calcularla. Una proyección escalar es la cantidad que un vector viaja en la dirección de otro vector. Entonces, si decimos que queremos la proyección de A sobre B, queremos saber cuánto del vector A va en la misma dirección que el vector B y viceversa para la proyección de B sobre A.

Por lo tanto, a veces también se le llama producto escalar, producto interno o, raramente, producto de proyección.

Answer 2

Los vectores son cantidades con magnitud y dirección.

fuente de la imagen: Dirección – Característica única de vectores

Ortogonalidad de las direcciones: el cambio en una dirección no afecta las direcciones perpendiculares u ortogonales a esa dirección.

Dos cantidades vectoriales p y q interactúan para formar un producto.

Hay dos productos posibles debido a la ortogonalidad de las direcciones.

1. el producto con componente en paralelo – – p multiplicado a (este es un producto de punto)
2. el producto con componente en perpendicular – p multiplicado b (este es el producto cruzado)

nota: ayb forman q.

Esto está disponible en producto de puntos vectoriales

La forma en que esta definición se transforma en [matemática] cos theta [/ matemática] se obtiene al encontrar ‘a’.

| a | = | q | cos theta

Está disponible en forma de proyección de producto cruzado

Espero que esto ayude.

Answer 3

El producto punto es la porción de a que procede en la dirección de b . Esto es terriblemente útil para saber cuando se resuelven problemas en los que algo se mueve en un espacio tridimensional.

• Por ejemplo, supongamos que tenemos un cohete en el espacio y empujamos en la dirección de a : ¿qué tan lejos hacia b viajaremos? El producto punto nos dice.
• Supongamos que un líquido fluye irregularmente a través de una longitud corta de una tubería larga. Si el fluido viaja en la dirección de a una cierta velocidad mientras la tubería apunta en la dirección de b , ¿cuál es el caudal efectivo del fluido por la tubería? El producto punto nos dice.
• Suponga que la electricidad pasa a través de una puerta en un dispositivo eléctrico, y el movimiento del electrón es a lo largo del vector a, mientras que la puerta está orientada ortogonalmente con respecto a b . ¿Cuál es el flujo eléctrico efectivo a través de la puerta? El producto punto nos dice.

Todo esto es terriblemente útil si eres un ingeniero que diseña dispositivos.

Answer 4

¿Cuál es el significado del producto punto: simplemente google “producto punto”. Obtendrá un millón de respuestas, completas con diagramas, ejemplos, buenas ecuaciones de LaTeX, etc.

¿Por qué existe ?: este es el tipo de pregunta para la que Quora es buena. Si buscas en Google, obtienes algunos éxitos que pueden ser útiles, pero no me impresionó demasiado.

La geometría analítica nos permite representar puntos en un plano bidimensional (o, más generalmente, n dimensiones) como un par (x, y). Si no sabe cómo funciona la geometría analítica, búsquela en Google. Si dibujamos una línea desde el origen hasta el punto, se llama “vector”. Puede representar matemáticamente cosas como la velocidad, cualquier cosa con dirección y magnitud. Ahora, suponga que tiene dos de ellos, (a, b) y (c, d). Es obvio cómo agregarlos: (a + c, b + d). Eso da la respuesta intuitiva correcta. Simplemente comience el segundo vector desde la punta del primero, en lugar del origen.

La matemática procede generalizando. Sabemos cómo multiplicar números, por lo que también queremos multiplicar vectores. Un matemático hace ese tipo de cosas tan naturalmente como respirar. La forma obvia de hacerlo es simplemente (a, b). (c, d) = (ac, bd), y ese es el producto escalar. Pero te hace preguntar, ¿por qué? Obviamente, no es tan correcto como la suma, para lo cual solo hay una forma inevitable.

William Hamilton atacó este problema y se le ocurrió una gran solución (en 4 dimensiones) llamada “cuaterniones”, en 1843. Su generalización de la multiplicación tenía el atributo clave de que si x es un vector distinto de cero, hay otro vector único 1 / x tal que x * 1 / x = 1. Eso se llama identidad multiplicativa.

Los cuaterniones, desafortunadamente, son bastante complicados. Pero separándolos, dan lugar a dos formas separadas de multiplicar vectores, el producto punto y el producto cruzado. Cada uno tiene sus usos. El producto cruzado es más complicado. Brevemente, representa el seno, ya que el producto de punto representa el coseno.

Hamilton mostró cómo estos dos trabajan juntos para una comprensión completamente satisfactoria de la multiplicación de vectores. Aclaró el significado geométrico de las tres multiplicaciones: punto, cruz y cuaterniónico. Puso toda la idea sobre una base teórica muy sólida.

Entonces, el producto punto es la forma más obvia de generalizar la multiplicación a vectores. No es del todo satisfactorio en sí mismo, pero aún tiene muchos usos. Como descubriste buscando en Google anteriormente, codifica el ángulo entre los dos vectores. Sin embargo, si realmente quieres entenderlo, estudia los cuaterniones, que son extremadamente geniales. Por ejemplo, encarnan el concepto de mecánica cuántica de “spin 1/2”. Si Hamilton hubiera sabido eso, habría estado extasiado.

Answer 5

El producto punto puede usarse para determinar si dos vectores son ortogonales o perpendiculares. Si su producto escalar es cero, entonces son ortogonales. La razón por la que esto funciona es porque perpendicular significaría 90 grados, y cos (90) = 0.

Tomando arcos y moviéndose alrededor de algunos términos, también puede encontrar el ángulo entre dos vectores.

Answer 6

Haga clic en el enlace a continuación y desplácese hacia abajo / busque en la página “producto punto”

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