Básicamente no, porque [matemática] V \ otimes W [/ matemática] y [matemática] Hom (V, W) [/ matemática] no son naturalmente isomorfas. Tomando [math] W = F [/ math] como unidimensional, esta es una versión mejorada del hecho de que un espacio vectorial y su dual no son naturalmente isomorfos: de hecho, si [math] V [/ math] es de dimensión infinita, entonces [matemática] V [/ matemática] y [matemática] V ^ * [/ matemática] no son isomorfas, y si [matemática] V [/ matemática] es de dimensión finita, entonces básicamente tienes que elegir un base de [matemáticas] V [/ matemáticas] para construir un isomorfismo entre [matemáticas] V [/ matemáticas] y su dual.
Lo que es cierto es que si V o W son de dimensión finita, entonces Hom [math] (V, W) [/ math] es naturalmente isomorfo a [math] V ^ * \ otimes W [/ math], donde [math] V ^ * [/ math] es el espacio vectorial dual.
Siempre hay un mapa bilineal
[matemáticas] V ^ * \ veces W \ a Hom (V, W) [/ matemáticas]
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que envía un par
[matemáticas] (\ lambda, w) [/ matemáticas]
a los homomorfosim
[matemáticas] f (v) = \ lambda (v) \ cdot w. [/ matemáticas]
Esto induce un mapa
[matemáticas] V ^ * \ otimes W \ to Hom (V, W). [/ matemáticas]
La imagen de este mapa consta de todos los mapas de rango finito: si [math] f: V \ to W [/ math] tiene una imagen contenida en un subespacio de dimensión finita [math] U \ subconjunto W [/ math] con base [math] u_1, \ ldots, u_k [/ math], entonces podemos definir los funcionales [math] \ lambda_1, \ ldots, \ lambda_k [/ math] por la propiedad
[matemáticas] f (v) = \ lambda_1 (v) u_1 + \ cdots + \ lambda_k (v) u_k, [/ math]
y luego el tensor
[matemáticas] \ sum [/ matemáticas] [matemáticas] \ lambda_i \ otimes u_i [/ matemáticas]
se asignará a [matemáticas] f. [/ matemáticas] Por el contrario, dado que los tensores son sumas finitas de tensores “simples”, está claro que la imagen de cualquier tensor es un mapa de rango finito. Si V o W es de dimensión finita, entonces esto procedimiento puede verse para dar un mapa inverso
[matemáticas] Hom (V, W) \ a V ^ \ ast \ otimes W. [/ matemáticas]
Si un teorema es falso para espacios vectoriales de dimensión infinita pero cierto para espacios de dimensión finita, será mejor que use algo sobre espacios de dimensión finita. La existencia de una base finita es la definición misma de un espacio de dimensión finita, por lo que no es una “mala forma” elegir una base en este caso.