Una matriz tiene una inversa si y solo si tiene una inversa izquierda y una inversa derecha; si lo hace, entonces el inverso izquierdo y derecho son iguales entre sí, y la matriz inversa es única.
Si la matriz que desea invertir es una matriz m × n , entonces un inverso izquierdo debe ser una matriz n × m para producir una matriz de identidad n × n y un inverso derecho debe ser una matriz n × m (igual que para izquierda-inversa) para producir una matriz de identidad m × m .
Así, para el inverso izquierdo termina con n ² ecuaciones en mn incógnitas, y para el inverso derecho termina con m ² ecuaciones en mn incógnitas.
Si m < n (que es el caso de la pregunta publicada, con m = 1 yn = 4), hay demasiadas ecuaciones para el número de incógnitas (situación de restricción excesiva) y no existe inversa izquierda, mientras que hay muy pocas ecuaciones para restringir las incógnitas adecuadamente para tener una solución única para cada una. Por lo tanto, no hay inversas a la izquierda y un número infinito de inversas a la derecha de [2 3 1 5]. Los inversos a la derecha son de la forma:
[ x
y
z
(1 – 2 x – 3 y – z ) / 5],
donde x , y y z son cualquier número real. Como no hay inversos izquierdos, no puede haber inversos verdaderos. Esta es la razón por la que otros encuestados han dicho que, dado que la matriz publicada no es cuadrada, no tiene una inversa.
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Si m > n , ocurre la situación inversa, con un número infinito de inversas a la izquierda y sin inversas a la derecha. Como no hay inversos rectos, no puede haber inversos verdaderos.
Si m = n , entonces tenemos una matriz cuadrada con n ² ecuaciones en n ² incógnitas. Las ecuaciones pueden o no ser linealmente independientes. Si lo son, entonces hay una solución única que actúa como inversa izquierda y derecha inversa, lo que la convierte en una verdadera inversa; Si hay un acoplamiento lineal de las ecuaciones, la matriz se llama singular y no hay inversa.
EDITAR: El póster original aparentemente se dio cuenta, después de varios comentarios en este sentido, que la matriz indicada era una matriz 1 × 4 y se suponía que era una matriz 2 × 2. Por lo tanto, estoy haciendo esta edición a mi respuesta para acomodar el cambio a la pregunta.
La matriz
[matemáticas] \ begin {bmatrix}
2 y 3 \\
15
\ end {bmatrix} [/ math]
Dado que la matriz es cuadrada (2 × 2), existe el potencial de que ocurra un inverso común a la izquierda y a la derecha. Primero, evalúe el determinante de la matriz dada:
2 × 5 – 3 × 1 = 10 – 3 = 7. Este es un valor distinto de cero, por lo que la matriz no es singular y debe tener un inverso. Para una matriz de 2 × 2, intercambie los elementos en la diagonal principal, niegue los elementos en la diagonal desactivada y divida cada elemento por el determinante. Por lo tanto, lo inverso es:
[matemáticas] \ begin {bmatrix} \ frac {5} {7} – \ frac {3} {7} \\
– \ frac {1} {7} \ frac {2} {7}
\ end {bmatrix}
[/matemáticas]
La matriz de respuesta se puede multiplicar a la izquierda o a la derecha por la matriz dada para verificar que la matriz de identidad
[matemáticas] \ begin {bmatrix}
1 y 0 \\
0 y 1
\ end {bmatrix} [/ math]
resultados.
