¿Cuál es el significado físico del valor propio y la función propia?

Answer 1

Una función [matemática] f (x) [/ matemática] toma un número [matemática] x [/ matemática] y genera otro número [matemática] f (x). [/ Matemática] Una matriz [matemática] M [/ matemática ] (o más generalmente un operador lineal) toma un vector [math] v_1 [/ math] y genera otro vector [math] v_2 = Mv_1 [/ math]. La mayoría de los vectores de entrada terminan saliendo en otra dirección cuando [math] M [/ math] actúa sobre ellos. Los vectores propios son aquellos vectores de entrada especiales que salen en la misma dirección en la que entraron, mientras que el valor propio le indica cuánto se estiró el vector de entrada. Por ejemplo, un valor propio de [math] -2 [/ math] significa que su salida ha salido en la dirección opuesta con el doble de longitud.

Sin embargo, la forma de la matriz / operador determina cuáles son estos vectores especiales, no al revés. Entonces, tal vez la pregunta “¿cuál es el significado físico de un operador lineal” es más lo que buscas?

Tenga en cuenta que si sigo aplicando [math] M [/ math] en uno de sus vectores propios varias veces, sigo obteniendo “más y más de lo mismo” y un vector propio no cambia a otro. Es como si hubiera obtenido todas las direcciones independientes del operador hablando muy libremente. Por ejemplo, si tiene una cuerda que vibra, hay diferentes maneras independientes en que la cuerda puede vibrar (modos) de modo que si la cuerda está en cualquiera de estos modos especiales, simplemente permanece en ese modo para siempre y nunca cambia a ninguna otra vibración modo (a menos que no evolucione libremente y sea forzado por algo externo). Si está vibrando no solo de 1 manera, sino de 2 formas ortogonales, estará en una superposición de dos modos de vibración, pero un modo nunca se moverá al otro con el tiempo, o en cualquier otro modo para el caso.

Answer 2

Lo que los valores propios y las funciones propias significan físicamente depende de lo que intente hacer con ellos.

Un ejemplo común de una interpretación física de los valores propios y las funciones propias aparece en la mecánica cuántica introductoria. Intenta resolver la ecuación de Schrodinger

[matemáticas] H | \ psi_n \ rangle = E_n | \ psi_n \ rangle, [/ matemáticas]

donde [matemáticas] H = \ frac {\ vec {p} ^ 2} {2m} + V (\ vec {p}, \ vec {x}) [/ matemáticas], es el hamiltoniano, y [matemáticas] E_n [ / math] son ​​los valores propios del hamiltoniano.

Para cualquier potencial [matemáticas] V [/ matemáticas], los valores propios (negativos) del hamiltoniano son los niveles de energía de ese potencial, mientras que las funciones propias [matemáticas] \ psi_n [/ matemáticas] son ​​las funciones de onda de los “estados” definidos por energía [matemáticas] E_n [/ matemáticas].

Answer 3

Un valor propio se define como el conjunto de valores de un determinado parámetro para una ecuación diferencial que tiene una solución distinta de cero bajo algunas condiciones conocidas. O si desea pensar en términos de matrices, es el número para el cual una matriz determinada menos ese número (el valor propio) multiplicado por la matriz de identidad tiene un determinante de cero. Una función propia es un conjunto de funciones independientes entre sí que son una solución para una ecuación diferencial. Una función propia del operador lineal, digamos S, que se define en un espacio de funciones, es cualquier función “g” distinta de cero en ese espacio de funciones, que cuando actúa sobre el operador lineal S, SÓLO se multiplica por algún otro factor específico, (un factor de escala) que es el valor propio. (Si conoce su álgebra, esto puede parecer similar a las raíces de una ecuación polinómica). Si desea escribir esto como una ecuación, sería esta: Dg = λg. Donde lambda es el valor propio. Las soluciones a una ecuación diferencial a menudo dependen de las condiciones de contorno, que limitan las funciones propias y, por lo tanto, los valores propios. En el caso de la ecuación anterior, los valores de λ generalmente están limitados, a menudo a un conjunto discreto. El conjunto de todos los valores propios posibles de S a menudo se denomina espectro, que puede ser discreto, continuo o ambos. Demostraré usando el ejemplo simple de una derivada.

d / dt f (t) = λ f (t)

(Ya no estoy usando las variables que usé en la explicación anterior). Por supuesto, esto es especialmente trivial dado que hay una amplia gama de opciones para el operador lineal porque está actuando en espacios dimensionales infinitos y operadores de funciones reales o complejas infinitamente diferenciables. Resolvemos multiplicando ambos lados por dt / f (t) y luego integrando. Obtenemos la función exponencial f (t) = fe ^ λt, que de hecho es la función propia del operador derivado donde f es el parámetro que depende de las condiciones de contorno. Si establecemos algunas condiciones límite arbitrarias para f , por ejemplo f (0) = 1 y df / dt para t = 0 = 2, (le permitiré determinar el valor propio para esa ecuación diferencial, es bastante simple).

Answer 4

¡Hola!

Tratamos con álgebra lineal y también con valores propios y vectores propios en la mecánica cuántica, y sus aplicaciones, los vectores propios también son los vectores que describen diferentes estados, por eso llamaron estados propios en física y los valores propios son los valores que podemos obtener de aquellos cuando el El operador se aplica en el vector. Expliquemos la última oración, todos los operadores de cualquier observable son Transformaciones lineales, Transformaciones lineales, como saben, pueden presentarse mediante matrices, y cuando aplica esas transformaciones en los vectores, obtiene el vector multiplicado por una constante, y esa constante es el valor propio, por lo tanto, cuando aplica los operadores como momento o energía en cualquier vector de estado, obtiene la energía o el momento de esta onda, por ejemplo, la descrita por este vector propio.

¡Que tengas un buen día!