Cómo encontrar si la multiplicación por una matriz m * n es una transformación uno a uno o no

Answer 1

Llame a la matriz [matemática] A [/ matemática] y escriba [matemática] A = [A_1, \ ldots, A_n] [/ matemática] como una pila de vectores de columna (vertical). La multiplicación por [matemáticas] A [/ matemáticas] es uno a uno si y solo si A tiene un espacio nulo trivial, es decir,

[matemáticas] Ax = A_1x_1 + \ cdots + A_nx_n [/ matemáticas] [matemáticas] = 0 \ implica x = 0 [/ matemáticas]

lo que significa que ninguna combinación lineal distinta de cero de los vectores de columna de [math] A [/ math] produce 0. Esto es equivalente a decir que los vectores de columna [math] n [/ math] de [math] A [/ math] son ​​linealmente independiente.

Según la ecuación de nulidad de rango, el espacio nulo de [matemáticas] A [/ matemáticas] es trivial si f [matemáticas] \ text {rango} (A) = n [/ matemáticas]. La eliminación gaussiana lleva algo de tiempo, pero es la mejor manera de calcular el rango a mano, excepto en algunos casos especiales de acceso directo. Formas rápidas de saber que [math] A [/ math] no es uno a uno:

1. Tenga en cuenta que [math] \ text {rank} (A) \ leq \ min \ {m, n \} [/ math]. Si [math] m <n [/ math], entonces [math] A [/ math] no puede ser uno a uno.
2. Lo mismo si alguna de las columnas [matemáticas] A_i [/ ​​matemáticas] es todo ceros
3. Lo mismo si más de [math] mn [/ math] de las filas de [math] A [/ math] son ​​todos ceros.

Answer 2

Todas las respuestas proporcionadas son perfectamente válidas. Pero si alguien quiere ‘una fórmula’ aquí es: [matemáticas] \ det (A ^ * A) \ neq 0 [/ matemáticas].

Answer 3

Llamemos a su matriz [matemáticas] A [/ matemáticas], y dejemos que [matemáticas] u, v, x [/ matemáticas] denoten vectores. Si [matemática] Au = Av [/ matemática] entonces [matemática] Au-Av = 0 [/ matemática] o [matemática] A (uv) = 0 [/ matemática]. Entonces, si la ecuación [matemática] Ax = 0 [/ matemática] solo tiene la solución trivial, entonces debemos tener [matemática] u = v [/ matemática] y la matriz es una transformación uno a uno. De manera equivalente, verifique si las filas de [math] A [/ math] son ​​linealmente independientes.

Answer 4

Bueno, no sé la configuración exacta de su pregunta, pero la multiplicación por una matriz no es necesariamente uno a uno. La multiplicación por una matriz específica podría ser un mapa uno a uno dependiendo de la matriz en principio, pero esto no es cierto en general. Mira este ejemplo

Dejar

[matemáticas] \ begin {ecation} A = \ left (\ begin {array} {cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {array} \ right) \ end {ecation} [/ math]

Observe [math] A \ times A = 0 [/ math] y también [math] 0 \ times A = 0 [/ math]

donde [math] 0 [/ math] es la matriz cero