¿Cuál es un ejemplo de un mapa lineal de [math] \ mathbb {R} ^ 2 \ rightarrow \ mathbb {C} ^ 2 [/ math]?

Answer 1

Deje que [math] T: \ R ^ 2 \ rightarrow \ C ^ 2 [/ math] se defina como [math] (a, b) \ mapsto (a + bi, a – bi) [/ math], es decir, el mapa que toma la identificación geométrica de un número complejo en el plano y lo envía a sí mismo y a su conjugado. Para cualquier vector [matemáticas] v_1 = (a, b), \; v_2 = (c, d) \ in \ R ^ 2, k_1 v_1 + k_2 v_2 = (k_1a + k_2 c, k_1 b + k_2 d) [/ matemáticas], [matemáticas] \ begin {align *} T (k_1 v_1 + k_2 v_2) & = (k_1 a + k_2 c + (k_1 b + k_2 d) i, \; k_1 a + k_2 c – (k_1 b + k_2 d) i) \\ & = (k_1 (a + bi) + k_2 (c + di), k_1 (a – bi) + k_2 (c – di)) \\ & = k_1 (a + bi, a – bi) + k_2 (c + di, c – di) = k_1 T (v_1) + k_2 T (v_2), \ end {align *} [/ math] por lo que T es lineal.

No estoy seguro de si hay algún contexto en el que este mapa sea relevante, pero fue el primero en el que pude pensar que conecta [matemáticas] \ R ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ C ^ 2 [/ matemáticas ] de alguna manera.

Answer 2

Cualquiera de estos mapas se puede escribir como [matemáticas] T (\ vec {x}) = A \ vec {x} [/ matemáticas], donde [matemáticas] A [/ matemáticas] es un [matemáticas] 2 \ veces 2 [/ matemática] matriz con entradas complejas. O, si desea escribirlo, cualquier mapa puede escribirse como

[matemáticas] T (\ vec {x}) = \ begin {bmatrix} z_ {11} y z_ {12} \\ z_ {21} y z_ {22} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} [/ math]

[matemáticas] = \ begin {bmatrix} z_ {11} x_1 + z_ {12} x_2 \\ z_ {21} x_1 + z_ {22} x_2 \ end {bmatrix}. [/ math]

Aquí [math] z_ {ij} [/ math] son ​​números complejos y [math] x_1, x_2 [/ math] son ​​las entradas reales de un vector en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math].

Complete sus números complejos favoritos para [math] z_ {ij} [/ math].

Answer 3

Como está escrito, R2 es un espacio vectorial real y C2 es complejo. Debido a esto, no existe un mapa lineal entre ellos. Tendría que “degradar” C2 y llamarlo R4 en su lugar (un espacio vectorial real).

El “campo” sobre el que está un espacio vectorial (reales, complejos u otros) es clave para la estructura del espacio vectorial.

Answer 4

Los reales son solo un subconjunto del complejo, por lo que cualquier función lineal que mapee ℝ2 → ℝ2 también sería un mapa lineal de ℝ2 → ℂ2.