¿Cuál es el gradiente de una función vectorial?

Answer 1

El gradiente es la tasa de cambio multidimensional de una función dada.

“El vector gradiente es un representante de tales vectores que dan el valor de diferenciación (significa característica de la curva en términos de valor creciente y decreciente en 3 o múltiples dimensiones) en toda la dirección de 360 ​​° para el punto dado en la curva”

Para las coordenadas curvilíneas generales, el gradiente viene dado por

que se simplifica a

Sabemos que la representación vectorial está en forma de vector unitario de x, y, z. Para que un vector siempre esté compuesto de componentes x, y, z Así se puede aplicar el mismo método para el gradiente Pero en este caso los componentes x, y, z son un poco diferentes Primero tome la proyección de la curva tridimensional dada [z = f (x, y)] en el plano x, z para que signifique constante y. Ahora tome la diferenciación de a = f ‘(x) en constante y. Entonces, esta ‘a’ es el componente ‘x’ del vector de gradiente (por lo que la diferenciación parcial no es más que diferenciar en el plano de curva proyectado). Siguiendo este método y, z se pueden obtener ambos

Aquí hay un video para la visualización de lo anterior

Si tomamos un producto de punto entre el gradiente y el vector, podemos obtener la característica de aumento o disminución de la curva en la dirección x por producto de punto. Entonces, si queremos obtener la característica de aumento o disminución en la dirección (x, y, z) por su producto de punto con vector de gradiente. Basándonos en esto, podemos decir que hemos convertido todo

Véase también: Cálculo vectorial: comprensión del gradiente

Answer 2

El gradiente, se define para funciones de múltiples variables.

Miremos a

[matemática] f (x, y, z) = 5x -2y + 3z [/ matemática]

Esta es una función de 3 variables, [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas].

Si queremos encontrar la tasa de cambio, o la pendiente, de esta función, tendremos que elegir una variable para obtener la tasa de cambio con respecto a.

Echemos un vistazo a lo que quiero decir,

Si elijo [matemáticas] x [/ matemáticas] para ser esa variable con respecto a la cual quiero encontrar la pendiente de [matemáticas] f [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] m_x = \ frac {\ partial f} {\ partial x} = 5 [/ matemáticas]

Aquí, [math] \ partial [/ math] es la derivada parcial, donde tratamos todas las demás variables como constantes y las diferenciamos.

similar

[matemáticas] m_y = \ frac {\ partial f} {\ partial y} = -2 [/ matemáticas]

[matemáticas] m_z = \ frac {\ partial f} {\ partial z} = 3 [/ matemáticas]

Ahora, definir el gradiente es simple. ¡El gradiente es simplemente un vector que consiste en cada una de estas derivadas!

Entonces

[matemáticas] \ nabla f = <5, -2, 3> [/ matemáticas]

Ese es su gradiente, un vector de la derivada parcial de cada componente.

Veamos un ejemplo un poco más complejo .

[matemáticas] f = \ frac {x ^ 3 + \ ln {x} – x} {\ sin {\ cos {\ sin {x}}}} + y ^ {2017} – \ sqrt {\ sinh {z} }[/matemáticas]

Entonces tu gradiente, [math] \ nabla f [/ math] solo será

[matemáticas] \ nabla f = <\ frac {\ partial f} {\ partial x}, \ frac {\ partial f} {\ partial y}, \ frac {\ partial f} {\ partial z}> [/ matemática ]

Lo dejaré como un ejercicio para calcular esas derivadas.

Answer 3

El gradiente de un campo vectorial es intuitivamente el flujo / volumen que queda fuera del volumen diferencial dV. Visualiza en 2D primero. Suponga que tiene un campo vectorial E en 2D. Ahora, si traza las líneas de campo de E y toma un área particular (área pequeña …), la divergencia de E son las líneas de campo netas, es decir, (la línea de campo que sale del área menos las líneas de campo que entran en el área). De manera similar en 3D, la divergencia es una medida de (líneas de campo que salen – líneas de campo que entran). Si implementa esto matemáticamente, verá que obtiene 3 términos de derivadas parciales, lo que esencialmente agrega las líneas de campo netas totales.

Para un campo escalar (digamos F (x, y, z)) representa la tasa de cambio de F a lo largo de los 3 vectores perpendiculares (también llamados ortonormales) con los que definió su sistema (digamos x, y, z).

¡¡Gracias!!