¿Por qué los conjuntos de vectores con el vector cero no son independientes?

Answer 1

Para mostrar que un conjunto de vectores depende linealmente, es suficiente (y en realidad también es una condición necesaria) mostrar que al menos uno de ellos es una combinación lineal (no necesariamente no trivial) del resto. No es necesario demostrar que todos y cada uno de los vectores son una combinación lineal de los demás. De hecho, eso puede ser falso para un conjunto linealmente dependiente. Por ejemplo, solo [math] (0, 1) = -1 (0, -1) + 0 (1, 0) [/ math] es suficiente para establecer que [math] (0, 1) [/ math], [matemática] (0, -1) [/ matemática] y [matemática] (1, 0) [/ matemática] son ​​linealmente dependientes. Dado esto, el hecho de que [matemáticas] (1, 0) [/ matemáticas] no es una combinación lineal de [matemáticas] (0, 1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (0, -1) [/ matemáticas] no cambia que [math] (0, 1) [/ math], [math] (0, -1) [/ math] y [math] (1, 0) [/ math] son ​​linealmente dependientes.

En el caso de [matemática] x_1 [/ matemática], [matemática] x_2 [/ matemática] y [matemática] 0 [/ matemática], esto es lo que está sucediendo. [matemática] x_1 [/ matemática] no es una combinación lineal de [matemática] x_2 [/ matemática] y [matemática] 0 [/ matemática], y [matemática] x_2 [/ matemática] no es una combinación lineal de [matemática] x_1 [/ math] y [math] 0 [/ math]. Sin embargo, [matemática] 0 [/ matemática] es una combinación lineal de [matemática] x_1 [/ matemática] y [matemática] x_2 [/ matemática], y eso es suficiente para hacer que [matemática] x_1 [/ matemática], [matemática ] x_2 [/ math] y [math] 0 [/ math] linealmente dependientes.

Las definiciones tienen consecuencias, por lo que se puede preguntar razonablemente por qué se definió la dependencia lineal para hacer que cualquier conjunto con el vector cero sea linealmente dependiente. De hecho, hay una buena razón para hacerlo.

Por ejemplo, uno puede preguntar sobre el alcance de los vectores; es decir, el conjunto de combinaciones lineales de los vectores. Para [math] n [/ math] vectores linealmente independientes, uno esperaría que el span tenga dimensión [math] n [/ math]. Sin embargo, si uno de los vectores [math] n [/ math] es el vector cero, entonces los vectores restantes abarcan solo un espacio de menor dimensión. De esa manera, tiene sentido hablar de incluir el vector cero como causante de los mismos problemas que incluir un vector que es una combinación lineal del resto: que el nuevo vector no agrega nada nuevo al tramo.

Otras cosas también funcionan mejor de esta manera: por ejemplo, tenemos que todos los conjuntos de span linealmente independientes para un espacio vectorial (si existen) tienen el mismo tamaño. Permitir que los conjuntos con el vector cero en ellos sean linealmente independientes arruina eso.

Por otro lado, no dejes que esto te desanime de cuestionar otras cosas sobre las matemáticas. Comprender lo que se desmorona si cambia una definición en una teoría ayuda a comprender la teoría misma.

Answer 2

¿Qué significa que un conjunto de vectores sea independiente? Significa que uno no puede escribirse como una combinación lineal de ninguno de los otros.

Observe, si [math] x [/ math] es un vector, entonces [math] 0 = 0x [/ math]. Por lo tanto, 0 es una combinación lineal de cualquier otro conjunto de vectores.

Answer 3

Pero en mi cabeza, estos vectores no son dependientes porque no se pueden expresar en términos mutuos.

No es cierto, puede expresar uno de ellos como una combinación lineal de los demás: [matemáticas] x_3 = 0 x_1 + 0 x_2 [/ matemáticas].

Answer 4

Su construcción muestra que hay una combinación lineal no trivial de los tres vectores que suma a 0 (es decir, 0 • v_1 + 0 • v_2 + 1 • v_3). Por definición, no son linealmente independientes.

Answer 5

Como dice en los comentarios, cualquier conjunto de vectores que incluya el vector cero depende linealmente. Volviendo a la definición de dependencia lineal: un conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} se llama linealmente dependiente si hay un conjunto de escalares no triviales (en otras palabras, no todos pueden ser cero) c1, c2, …, Cn tal que c1 • v1 + c2 • v2 +… + cn • vn = 0. De esta definición queda claro que podemos escalar todos los vectores distintos de cero en un conjunto por cero y escalar el vector cero por lo que queramos para obtener el vector cero.

Para responder a su pregunta posterior, no todos los vectores deben ser combinaciones lineales de los otros vectores en un conjunto para que el conjunto se considere linealmente dependiente. Por ejemplo, el conjunto {[0,1], [0,2], [1,0]} es linealmente dependiente porque -2 • [0,1] + 1 • [0,2] + 0 • [1, 0] = 0. [1,0] no es el resultado de ninguna combinación lineal que incluya [0,1] o [0,2] (tenga en cuenta que esto significa que [1,0] no es un elemento del intervalo de [ 0,1] o [0,2]).