¿Qué es una explicación intuitiva del problema del valor propio? ¿Hay ejemplos de la vida real que sean aplicaciones de valores propios y vectores propios?

Answer 1

Aquí hay un vaso de agua para su ayuda.

Ahora, míralo desde la vista superior. Y verás algo como esto.

Ahora, imagine que tomó una cuchara y comenzó a mezclar el agua en el sentido de las agujas del reloj. Después de eso, sacas la cuchara mientras el agua sigue girando en el sentido de las agujas del reloj.

Ahora, pongamos un cuadrado hecho de una banda de goma perfectamente elástica como se muestra a continuación.

Como el agua en el borde gira más rápido que el agua en el centro, el elástico entrará en la posición 2 como se muestra arriba. ¿Que pasó aquí?

Los lados cuadrados de goma se estiraron. Pero, si observa las diagonales del cuadrado, como se muestra a continuación, una de las diagonales se estira y la otra se contrae. Sin embargo, ambas diagonales tenían la misma dirección, incluso después de estirarse.

(Sinceramente, me disculpo por mi dibujo en habilidades de pintura)

Ahora, lea la definición de Eigen Vector de Wikipedia:

En álgebra lineal, un vector propio o vector característico de una transformación lineal es un vector distinto de cero cuya dirección no cambia cuando se le aplica esa transformación lineal.

Entonces, para nuestro caso, a las diagonales se les aplicó una transformación lineal de estiramiento / contracción por el agua giratoria, la dirección permaneció constante. Entonces, las diagonales son nuestros vectores propios. ¿Y cuánto se expandieron / contrajeron? El valor por el que lo hacen se llama ‘Valor propio’.

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Eso es genial, pero, ¿dónde está la aplicación?

Supongamos que está mirando el precio de las acciones de 100 empresas para tener una idea y obtener el máximo rendimiento esperado de su cartera al final del año. Ahora, desea invertir en productos básicos en los que se siente seguro de que crecerán en el próximo año y son predecibles en función de su relación con los precios de las acciones de otras compañías.

Por lo tanto, crea una tabla de 100 empresas en una columna y elimina los valores de retorno durante 365 días de todas estas 100 empresas en filas. Obtiene una matriz de puntos de datos 365X100. Ahora, haces una pregunta simple:

¿Las acciones de Microsoft están de alguna manera correlacionadas con Apple o no? ¿Subirá también el precio de Microsoft si Apple lo hace? ¿O alguna de estas 100 compañías está relacionada de alguna manera?

En este punto, desea reducir sus datos a algo más realista mediante el uso de la descomposición del valor singular en álgebra lineal. Al hacerlo, está viendo datos nuevos desde una perspectiva diferente; y puede eliminar los datos inútiles de la matriz.

La descomposición del valor singular se basa completamente en los valores de Eigen y la matriz de Eigen.

Entonces, sí, hay aplicaciones de la vida real para estos conceptos.

Answer 2

1.22.2017 – “¿Qué es una explicación intuitiva del problema del valor propio? ¿Hay ejemplos de la vida real que sean aplicaciones de valores propios y vectores propios?

Como está pidiendo una explicación intuitiva, hablaré en términos de vectores y matrices en lugar de espacios vectoriales y operadores lineales.

Preliminar

Personas familiarizadas con transformaciones lineales o matrices, y multiplicación de matrices.

Cuando una matriz cuadrada multiplica un vector distinto de cero (matriz de columna), el resultado es otro vector que generalmente es diferente en magnitud y dirección.

Si la matriz no es singular, el producto anterior siempre es distinto de cero.

Valores propios y vectores propios

Los vectores propios de una matriz cuadrada son aquellos vectores cuya dirección no cambia con la multiplicación. Los valores propios son la relación de la magnitud del vector nuevo al original.

Si la matriz es simétrica real, los valores propios son reales, y un vector real obviamente se transforma en un vector real. Para una matriz nxn generalmente hay n valores propios y vectores propios distintos. En casos degenerados, pueden coincidir dos o más valores propios (podría haber, por ejemplo, un conjunto de dos valores coincidentes y otro conjunto de tres valores coincidentes para una matriz de 5 × 5 o mayor). Cuando los valores propios coinciden, cualquier vector que se encuentre en el espacio definido (‘subespacio extendido’) por los vectores propios no cambia de dirección cuando se multiplica por la matriz. Si la matriz no es singular, ninguno de los valores propios es cero; de lo contrario, uno o más de ellos serán cero.

El caso simétrico tiene muchas aplicaciones.

Estirar una hoja de goma

Si una lámina de goma se estira en una transformación lineal simétrica, los vectores propios o las direcciones principales son aquellas cuyas direcciones no cambian.

En realidad, lo que nos interesa es el estiramiento diferencial local, generalmente para pequeñas cantidades de estiramiento. Resulta que esto siempre es lineal y simétrico en lo pequeño.

Estirar un sólido elástico

Lo mismo es cierto para un sólido elástico.

Las direcciones principales son aquellas en las que hay estiramiento paralelo a la dirección pero sin cizallamiento.

La deformación de los cuerpos elásticos (deformación) se simplifica mucho mediante el análisis de valores propios simikar (normalmente, aunque este lenguaje no se utiliza en la mecánica de sólidos clásica).

Superficies cuadráticas

Si A es una matriz simétrica nxn, x es un vector en n espacio, y Ax es su producto, luego forma el producto interno o puntual ( x , Ax ).

Entonces ( x , Ax ) = B (una constante positiva), generalmente define una superficie cuadrática. Si A es positivo definido, entonces la superficie cuadrática es una n-elipse (elipse plana si n = 2 y elipsoide si n = 3). Los vectores propios son los ejes de la elipse.

Este enfoque simplifica el análisis de superficies cuadráticas en cualquier cantidad de dimensiones. Puede pensar en lo que resultará en un hiperboloide o paraboloide. Estoy seguro de que se puede encontrar en Wikipedia.

Vibración

Para un sistema elástico de n grados de libertad hay n ecuaciones diferenciales de movimiento de segundo orden. Si las fuerzas son funciones lineales de desplazamiento, conectar soluciones senoidales (o esponenciales complejas) a tiempo conduce a un sistema propio nxn. Las frecuencias se relacionan fácilmente con los valores propios. Los vectores propios representan la forma de los ‘modos’ de movimiento.

Si el sistema elástico es continuo, generalmente hay un número infinito de frecuencias propias y modos de movimiento. Más allá de cierto valor, las frecuencias más altas no son tan importantes. A valores suficientemente altos pierden importancia porque los sólidos ‘continuos’ no son realmente continuos.

El caso lineal es muy útil porque obtiene una buena aproximación para ‘pequeñas vibraciones’. Por ejemplo, nos da el valor de las frecuencias resonantes que pueden ser destructivas en la maquinaria.

Los tonos de muchos instrumentos musicales son frecuencias propias (frecuencias vibratorias) y sus combinaciones. En una flauta, el tono es la frecuencia vibratoria de la columna de aire en la flauta. Esa frecuencia se ve afectada por la combinación de agujeros que están cerrados (o abiertos). El cuerpo de la flauta absorbe energía de la columna de aire y también vibra; Esto afecta la calidad del tono.

Mecánica cuántica

Aunque el interlocutor dice que no necesita esta información, otros lectores pueden estar interesados ​​en ella.

En mecánica cuántica, las variables están representadas por matrices (donde en mecánica clásica son números). Los elementos de las matrices pueden ser complejos. Las matrices son ‘autoadjuntas’: en lugar de la igualdad de los elementos simétricos respecto de la diagonal principal, los conjugados complejos son iguales. Los valores propios de una matriz autoadjunta son reales. Son los valores posibles de una medición de la variable en un sistema cuántico. Después de una medición que produce uno de los valores posibles, el sistema se encuentra en el “estado propio” correspondiente, que es esencialmente el vector propio. En general, el sistema estará en una superposición de estados propios. Estos comentarios son válidos para sistemas autónomos, en los cuales la función de energía potencial es independiente del tiempo. Los valores propios pueden ser discretos o continuos.

Answer 3

Aprovecharía esta oportunidad para citar un ejemplo de la vida real del campo de la ingeniería civil relacionado con los valores propios y los vestigios propios.

Imagine la siguiente carga, que consta de dos esfuerzos mutuamente perpendiculares acompañados de un esfuerzo cortante (Fuente: http://www.nptel.ac.in/courses/1 …)

La tensión normal resultante y la tensión de corte en cualquier plano dado debido a esta carga se pueden encontrar utilizando varios métodos numéricos y gráficos. También quiero llamar su atención sobre el hecho de que la tensión es un tensor, es decir, se define por su magnitud, dirección (naturaleza, es decir, tracción o compresión) y el plano en el que actúa.

Entre todos los planos infinitos existentes en el ejemplo mencionado anteriormente, existen tres planos específicos donde solo existen tensiones normales y el valor de la tensión de corte es cero. Estos planos se denominan planos principales y la tensión normal existente en ese plano se denomina tensión principal.

Los planos principales para una carga dada tienen la mayor magnitud de una determinada naturaleza de tensión (de tracción o compresión) y, por lo tanto, se convierten en los planos críticos debido a su mayor probabilidad de falla en un material dado.

Por lo tanto, la localización de los planos principales (vector propio), la evaluación de las tensiones principales en ellos es una preocupación principal para los diseñadores estructurales. Aclarando esto aún más, cuando ubicamos la dirección de un plano que lleva un esfuerzo cortante cero (es decir, que lleva solo un esfuerzo normal) estamos localizando efectivamente el vector propio (dirección) del plano con respecto a un plano de referencia y el valor del esfuerzo normal carga .

Al observar más de cerca un problema de valor propio y un problema de tensión principal, observamos que se observa un procedimiento similar, es decir, el valor propio se resta de los elementos en la diagonal principal y la matriz transformada se iguala a cero.

[matemáticas] {determinante (A – λI) = 0} [/ matemáticas]

También puede observarse que todas las propiedades de la invariancia de estrés provienen de las propiedades fundamentales de los valores propios y los vectores propios.

El problema del estrés principal en la mecánica de sólidos es básicamente un problema de valor propio en sí mismo. Gracias por esta oportunidad. ¡Salud!

Answer 4

Es un mapeo lineal a un subespacio más pequeño basado en la varianza compartida de las dimensiones existentes. Una aplicación común es el análisis factorial en psicometría o PCA en el análisis de datos. Básicamente es tallar subespacios lineales de un gran espacio dimensional con ciertas restricciones predeterminadas. Otra vista intuitiva de este seguimiento del flujo de una ecuación a través de un gráfico o múltiple (como los laplacianos). Esto proporciona información sobre el espacio subyacente a través de huecos de valores propios y valores de vectores propios. Una aplicación interesante es la clasificación de centralidad en problemas de redes sociales (el vector propio corresponde a la medida de centralidad en cada nodo / persona en la red).

Para obtener una descripción detallada de cómo se usan y algunos de los inconvenientes comunes de esta técnica en psicometría, consulte este enlace (tenga una presentación visual de un artículo reciente que escribí): https://www.slideshare.net/Colle …

Answer 5

Si considera una matriz que actúa sobre los vectores púrpura, negro y rojo anteriores, podría hacer algo como:

Aquí el vector rojo no se ve afectado por la transformación. Los otros dos cambian radicalmente.

Otra matriz podría transformar los vectores de la siguiente manera:

Aquí el vector negro no se altera, salvo por crecer en magnitud. Nuevamente, los otros dos cambian más fundamentalmente.

Parece que en cada uno de nuestros ejemplos podríamos encontrar un vector que no haya cambiado por la multiplicación de matriz específica, o que solo haya cambiado por un factor escalar. Para una matriz dada, tales vectores especiales se conocen como vectores propios y los factores escalares se conocen como valores propios. La palabra alemana eigen significa “propio”, por lo que estos términos pueden considerarse como los propios vectores y valores de una matriz, los particulares de esta matriz.

Extraído de: 17 – Matrices Redux – parte de: Glimpses of Symmetry (esto cataloga las matrices reales utilizadas en las transformaciones y cubre el área con mayor profundidad)

Answer 6

Intentaré un enfoque diferente. Use las fórmulas para ver lo que sucede en el proceso de obtención de valores propios y vectores propios.

Empiezas con esto:

eqn (1): [matemáticas] \ pmb {A} \ cdot \ pmb {x} = \ lambda \ cdot \ pmb {x} [/ matemáticas]

tl; dr: tomo una matriz cuadrada la multiplico con una columna y dejo que sea igual a un número por una columna. Ahora transformo un cuadrado en una columna, pero de manera tal que lo más importante de esta transformación es que encuentro un número [math] \ lambda [/ math] que resume esta transformación.

[math] \ pmb {A} [/ math] es una matriz cuadrada … tiene que serlo. Deje que su dimensión sea [matemáticas] n \ veces n [/ matemáticas].

[math] \ pmb {x} [/ math] es un vector. Necesitamos hacerlo [math] n \ times 1 [/ math] size. Piense en ello como una sola columna, también conocida como estantería de libros de altura [matemática] n [/ matemática], donde puede colocar solo un libro en cada nivel.

[math] \ lambda [/ math] es un escalar, es decir, un número, cualquier número (un libro con páginas vacías), uno que necesitamos para encontrar una solución. Una vez que encuentre las soluciones de [math] \ lambda [/ math], puede llamarlo un valor propio . Luego usas el valor propio, para encontrar su vector propio . Pero me estoy adelantando myself

De vuelta a nuestro punto de partida.

El LHS de la ecuación (1): [matemáticas] \ pmb {A} \ cdot \ pmb {x} [/ matemáticas]

El RHS de la ecuación (2): [matemáticas] \ lambda \ cdot \ pmb {x} [/ matemáticas]

Parece bastante simple … pero tiene algunas agendas ocultas.

El LHS dice que estoy tomando una matriz cuadrada [math] \ pmb {A} [/ math], matriz multiplicándola con un vector de columna [math] \ pmb {x} [/ math]. Después de multiplicar, obtienes un vector de columna, un estante de libros de altura [matemática] n [/ matemática].

El RHS dice que está tomando un valor escalar [math] \ lambda [/ math] y multiplicándolo con un vector [math] \ pmb {x} [/ math]. Después de multiplicar, obtienes un vector de columna … pero estirado por un factor de [math] \ lambda [/ math]. El estante para libros tiene la misma altura, pero los libros en cada nivel se hacen más grandes, sí, analogía extraña, pero tengan paciencia conmigo 🙂

Espera lo que acaba de pasar … Tomo una matriz cuadrada, la multiplico con una columna y dejo que sea igual a un número por columna. En otras palabras, transformo un cuadrado en una columna , pero de tal manera que lo más importante de esta transformación es que encuentro un número que resume esta transformación.

Así que básicamente tomo una matriz cuadrada y la reemplazo con un número escalar … es tan especial que merece un nombre especial: el valor propio . Pero es tan súper especial, que cada vez que encuentro este valor propio, tengo que encontrarlo. Porque eqn (1) no funcionará sin encontrar todas las soluciones de [math] \ lambda [/ math], y es relevante eigenvector’s [math] \ pmb {x} [/ math].

Answer 7

Un biólogo se detuvo una vez en un departamento de matemáticas para solicitar un análisis de un modelo de reproducción bacteriana. (Esto es cierto; estuve allí). Ciertas especies de bacterias tienen un número variable de copias de un determinado gen, porque a medida que se dividen, el gen se duplica, pero no garantiza que se envíen tantas copias a cada célula hija. (Como recuerdo, era un gen en un plásmido).

En el modelo particular descrito, algunos estudiantes graduados pudieron darle una manera explícita de calcular cuántas bacterias tendría cada número de copias del gen. El biólogo quería saber en particular qué distribución obtendría uno.

En un modelo como este (donde las bacterias individuales son independientes), la distribución limitante puede entenderse como un problema de valor propio. El mapa de la población en un momento a la población en un momento posterior es lineal (debido a la independencia de los individuos). Si un valor propio de ese es dominante (tiene una norma mayor que las otras), entonces la distribución de la población tenderá hacia la distribución en un vector propio para el valor propio dominante. La población es intuitivamente una suma de una población proporcionada como en el vector propio (y que crece en cada generación por un factor dado por el valor propio), y un término de error (que se ahoga porque no está creciendo tan rápido).

Un ejemplo de esto es el modelo de conejos Fibonacci. Suponga que en cada generación cada par de conejos adultos produce un par de conejos juveniles y también sobrevive a sí mismos, y cada par de conejos juveniles crece hasta la edad adulta. Por lo tanto, si escribimos [matemáticas] (j, a) [/ matemáticas] para el número de conejos juveniles y adultos, en cada generación aplicamos la transformación [matemáticas] (j, a) -> (a, j + a) [ /matemáticas]. Si comenzamos con un par de conejos juveniles, el número de pares en cada generación sigue la secuencia de números de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

La transformación lineal aquí está dada por una matriz de 2 por 2 cuyo valor propio más grande es la proporción áurea [matemática] (1+ \ sqrt {5}) / 2 [/ matemática]. Los vectores propios de ese valor propio son poblaciones en las que la proporción de parejas adultas a parejas juveniles es la proporción áurea. Así, la población tiende a esa proporción. (La proporción de números sucesivos de Fibonacci tiende hacia la proporción áurea).

Answer 8

Si bien no creo que el concepto de valores propios y vectores propios tenga una explicación más transparente que en términos de sus aplicaciones físicas, sugiero buscar aplicaciones de descomposición de valores singulares [1] y análisis de componentes principales [2]. Si elegimos mirar las matrices como matrices de datos (por ejemplo, una imagen rasterizada) en lugar de representaciones de transformaciones lineales, entonces podemos pensar en los vectores propios con los valores propios más grandes como las “direcciones” en los datos que contienen la mayor información sobre el datos originales (esto tiene aplicaciones obvias en la compresión de datos con pérdida).

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Otra forma de pensar sobre los vectores propios y los valores propios es la siguiente: el proceso de encontrar los vectores propios y los valores propios de una matriz es equivalente a diagonalizar la matriz [3]. Las matrices diagonales son la forma más fácil de entender para nosotros los humanos porque se comportan de manera muy similar a los “números normales”. Por ejemplo, si observamos [math] \ mathbb {M} _n (F) [/ math]: el conjunto de [ math] n \ times n [/ math] matrices con entradas en un campo [math] F, [/ math] luego las matrices diagonales tienen las siguientes propiedades:

• Si [math] A = \ text {diag} (a_1, a_2, \ ldots, a_n) [/ math] y [math] B = \ text {diag} (b_1, b_2, \ ldots, b_n), [/ math ] luego [matemáticas] A + B = B + A = \ text {diag} (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ ldots, a_n + b_n) [/ math]
• [matemáticas] AB = BA = \ text {diag} (a_1b_1, a_2b_2, \ ldots, a_nb_n) [/ math]
• Si cada [matemática] a_i \ neq0 [/ matemática], entonces [matemática] A ^ {- 1} = \ text {diag} (a_1 ^ {- 1}, a_2 ^ {- 1}, \ ldots, a_n ^ { -1}) [/ matemáticas]

En este sentido, las matrices diagonales son la representación más simple y útil de (algunas) transformaciones lineales. Por lo tanto, los vectores propios y los valores propios de una matriz contienen la información esencial sobre la transformación lineal que representan, condensada en una agradable forma humanamente digerible.

Notas al pie

[1] Álgebra lineal fría: descomposición del valor singular

[2] Análisis de componentes principales 4 Dummies: vectores propios, valores propios y reducción de dimensiones

[3] Diagonalización matricial

Answer 9

Los problemas de valor propio son básicamente ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales surgen en casi cualquier sistema físico. Especialmente aquellos que tienen un comportamiento resonante.

Entonces: los sistemas de resorte de masa (cualquier problema estructural), la mayoría de los circuitos analógicos, ciertos sistemas ópticos, problemas de propagación de ondas, son TODOS los problemas de valores propios.

¡Todo está conectado, hombre!

Answer 10

Tengo varios problemas relacionados con los problemas de valores propios aquí en el blog sobre PDE.

Problema de valor propio de Ryan Howe sobre ecuaciones diferenciales parciales

Problema de valor propio # 2 por Ryan Howe sobre ecuaciones diferenciales parciales

Problema de valor propio # 3 por Ryan Howe sobre ecuaciones diferenciales parciales

La intuición es resolver la ecuación diferencial parcial separándolos en EDO y formar la base para su solución como funciones propias de los valores propios por un problema de valor propio. Podría ser la ecuación de calor, la ecuación de Laplace u otras ecuaciones similares.

Answer 11

Has conocido valores propios y vectores propios en teoría cuántica y óptica. Pero la mecánica clásica, y la física en general, podrían reformularse en términos de valores y vectores electrónicos. Un vector electrónico es solo el estado del sistema (representado como un vector), y los valores electrónicos son solo los valores de varios parámetros que puede medir. No es muy emocionante, estoy seguro de que está de acuerdo, pero hace que la física cuántica sea mucho más comprensible cuando se ve desde esta perspectiva.

Debido a que los vectores electrónicos y los valores electrónicos a menudo se introducen en el contexto de la física cuántica, es fácil pensar que hay algo misterioso y “cuántico” en ellos. Pero no existe, son solo dispositivos para resolver ecuaciones algebraicas lineales, y se representan fácilmente como ecuaciones matriciales, y son igualmente aplicables a la física clásica como a la mecánica cuántica.

Answer 12

Para mí, la vibración de superficies y volúmenes da la mejor intuición. Es decir, valor propio = frecuencias donde vibra su motor o rueda o pieza de repuesto, vector propio = la forma oscilante correspondiente. típicamente: Ernst Chladni – Wikipedia

Mathwise, en transformaciones geométricas, los vectores propios dan el eje de la transformación, y el valor indica cómo se trata la dirección del eje (encogida, dilatada, mantenida igual).

Answer 13

Piense en una matriz como una transformación lineal. Un vector propio es una dirección que se transforma para estar en la misma dirección. El valor propio correspondiente es el factor por el cual un vector cambia de magnitud. Un vector propio tiene una magnitud arbitraria, pero si lo toma como un vector unitario, luego de la transformación, la magnitud sería igual al valor propio.

Answer 14

La idea de los valores propios y la diagonalización es aproximar las matrices generales por las matrices diagonales, es decir, las matrices que son cero en todas partes, excepto quizás en la diagonal principal. Los valores propios son los valores que ocurren en la diagonal principal en tal aproximación.

Por supuesto, no todas las matrices se pueden diagonalizar (es decir, igual a una matriz diagonal después de un cambio de base), pero se puede convertir en la forma de Jordan, lo que también requiere el conocimiento de los valores propios.

Hay muchos ejemplos de valores propios en la ciencia, la física y la ingeniería, pero no hay una aplicación directa a la vida cotidiana. Se necesita material de base complementario.

Answer 15

El valor propio de la función propia son aquellas funciones que están menos perturbadas por el operador.

En resumen, podemos decir que el valor que obtuvimos como valor propio está más cerca de la realidad significa verdad.

En el mundo real hay un conjunto enorme de ejemplos de este tipo.

Una analogía que puedo darte.

Supongamos que usted es la función de onda y el examen es un operador.

Cuando el examen como operador actúa sobre usted resulta en sus actuaciones, lo que depende independientemente de su presencia mental en la sala de examen (aquí supongo que se ha presentado en el examen con preparación completa), lo que lleva a su puntaje que es un valor propio.

Si está menos perturbado por el exsm, entonces tendrá una presencia mental casi completa y hará lo mejor que pueda, lo que dará como resultado una buena puntuación que implica un buen valor propio.

Lo cual estará muy cerca de la realidad, quiero decir puntuación completa.

Espero que me entiendas.

Answer 16

Hay muchas respuestas geniales. Compartiré probablemente el uso más común. Y ese es el ranking de búsqueda de google. Con todas las páginas como una matriz de adyacencia. El famoso algoritmo de clasificación de páginas encuentra el vector propio para el gráfico de Internet, para clasificar páginas.

Answer 17

Aquí hay un intento de explicar los valores propios de una manera muy simple con una analogía interesante:

Gracias,

Prithivi

Answer 18

El vector propio le proporciona la dirección de propagación de datos, mientras que el valor propio es la intensidad de propagación en una dirección particular o de ese vector propio, respectivamente.