Si el conjunto de vectores que está considerando tiene un vector cero, entonces el conjunto de vectores siempre depende linealmente.
Si el vector cero es un elemento de su lista de vectores, puede multiplicar ese vector con cualquier constante real y aún así obtener el vector cero. La independencia lineal implica que la única forma en que la combinación lineal de vectores en su conjunto es igual a cero es cuando todos los vectores tienen un coeficiente de cero en la combinación lineal.
Ahora imagine que tiene un montón de vectores, que son linealmente independientes y también tiene el vector cero junto con ellos. Existe un conjunto único de coeficientes que harán que la combinación lineal de esos vectores linealmente independientes llegue a cero. Ahora puedo multiplicar el vector cero por cualquier constante, y agregarlo a la combinación lineal y todavía obtendré el vector cero.
Tenga en cuenta que el conjunto de coeficientes ya no sigue siendo único. Existe un número infinito de conjuntos de coeficientes que obtendrán una combinación lineal de su conjunto de vectores hasta cero.
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Entonces, si existe un vector cero en el conjunto de vectores que tiene, el conjunto se vuelve trivialmente linealmente dependiente.