Dado un conjunto de expansión S de un espacio vectorial V, ¿S contiene una base para V?

Answer 1

Este es uno de esos casos en los que las palabras matemáticas utilizadas tienen un cierto sentido laico. Supongamos que, desde un espacio vectorial, algunos vectores se eligen para pertenecer a un conjunto S. Hasta ahora, nada especial tiene que ser cierto acerca de sus elecciones, EXCEPTO que las operaciones del espacio vectorial principal aparecen. Ahora imagine que forma todas las combinaciones lineales posibles de su elección de vectores. Todas las combinaciones lineales son simplemente todos los múltiplos escalares de sus vectores y todas sus sumas. El resultado se llama el lapso de su elección de vectores. Si el espacio es en realidad el espacio vectorial original, entonces su elección es un conjunto de expansión del espacio vectorial original. En otras palabras, su elección de vectores cuenta toda la historia del espacio vectorial. Sin embargo, su elección podría no haber sido la más eficiente para hacer el trabajo. Recuerde que a los matemáticos les gusta la terquedad. Piensa en esto ahora. Cada vector, en el espacio original, se extiende por su elección de vectores. Ahora realice la terrible tarea de eliminar cualquier vector de su elección original que no sea necesario para abarcar el espacio vectorial. cuando hayas terminado, ¿qué te queda? Usted tiene, usando un conjunto de palabras, un conjunto de expansión mínima. ¿Qué más se llama? Sugerencia: la elección de los vectores base no es única.

Answer 2

¡Si!

Tome el conjunto [matemática] T: = \ {X \ subconjunto S: X [/ matemática] es linealmente independiente [matemática] \} [/ matemática]

Entonces [math] T [/ math] se ordena parcialmente con [math] \ subset. [/ Math]

[math] T [/ math] no está vacío, porque [math] \ emptyset \ in T. [/ math]

Creo que ya puedes adivinar a qué apuntamos ahora.

Entonces, [matemáticas] C [/ matemáticas] sea una cadena en [matemáticas] T [/ matemáticas], entonces

[math] \ displaystyle \ bigcup_ {X \ in C} X [/ math] también es linealmente independiente, lo que se deduce bastante directamente de la definición.

([math] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ lambda_iv_i = 0 \ Rightarrow \ lambda_i = 0 [/ math]) es el más conveniente para usar.

La unión está en [math] T [/ math] (lineal independiente y unión de subconjuntos de [math] S [/ math]) y un límite superior con [math] \ subset. [/ Math]

Con el Lema de ZORN !!, se deduce que [math] T [/ math] contiene un elemento máximo [math] B. [/ Math]

Esto es lineal independiente porque está en [matemática] T [/ matemática] y debe abarcar [matemática] V [/ matemática], porque [matemática] S [/ matemática] abarca [matemática] V [/ matemática]. De lo contrario, podría elegir un vector en [matemáticas] S [/ matemáticas] que no esté contenido en el intervalo de [matemáticas] B [/ matemáticas] que contradiga la maximidad de [matemáticas] B [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] B [/ math] es una base de [math] V [/ math].

Answer 3

Si.

La prueba informal es mostrar que puede tomar vectores uno por uno de S mientras preserva la independencia lineal.

Si solo le interesan los espacios vectoriales de dimensiones finitas, basta con un argumento de inducción para terminar la prueba. Si desea trabajar con V de dimensión infinita, construya cadenas de subespacios que tienen una base contenida dentro de S a través del proceso ‘agarrar uno a la vez’, luego use el lema de Zorn para obtener un espacio máximo y luego muestre el máximo el espacio es todo V al construir asumiendo que hay un vector fuera del chico máximo y mostrando que vive en una de estas cadenas.

Answer 4

Si [math] S [/ math] es contable, entonces esto está claro. Puede enumerar [math] S [/ math], eliminando cualquier elemento redundante en el camino. Para ser más precisos, suponga que [math] S = \ {s_i: i \ in \ mathbb {N} \} [/ math] [math]. [/ Math]

Defina [math] S_0 = \ {s_0 \}. [/ Math] Ahora si [math] S_i [/ ​​math] está definido para [math] i \ in \ mathbb {N} [/ math], defina [math] S_ {i + 1} [/ math] de la siguiente manera. Si [math] S_i [/ ​​math] abarca [math] V [/ math], entonces deje [math] S_ {i + 1} = S_i. [/ Math] De lo contrario, deje que [math] n [/ math] sea menor índice tal que [math] s_n [/ math] no esté en el lapso de [math] S_i. [/ math] Sea [math] S_ {i + 1} = S_i \ cup \ {s_n \}. [/ math ]

Defina [math] S ^ * = \ bigcup_ {i \ in \ mathbb {N}} S_i. [/ Math]

Es fácil demostrar que [math] S ^ * [/ math] es linealmente independiente y abarca [math] V. [/ Math] Por lo tanto, es una base y un subconjunto de [math] S. [/ Math]

Si [math] S [/ math] es incontable, entonces necesitas el Lemma de Zorn. Aquí hay un argumento: (ver p. 4) http://www.math.lsa.umich.edu/~k… .

La idea básica es esta: Sea [math] \ mathfrak {C} [/ math] ser el conjunto de subconjuntos linealmente independientes de [math] S [/ math]. Según el Lema de Zorn, hay algunas [matemáticas] S ^ * \ en \ mathfrak {C} [/ matemáticas] que es máxima. Esto significa que [math] S ^ * [/ math] no está contenido en ningún otro subconjunto linealmente independiente de [math] S. [/ math] Por lo tanto, [math] S ^ * [/ math] abarca [math] S [/ math] y, por lo tanto, [math] V [/ math]. Por lo tanto, [matemática] S ^ * [/ matemática] es una base para [matemática] V. [/matemáticas]