Como Hadrien explicó, un determinante se define solo para matrices cuadradas. Sin embargo, aún puede obtener información similar para matrices no cuadradas. En lo que sigue restringiré a 6 × 3 matrices, pero todo se puede generalizar fácilmente para matrices de cualquier tamaño.
Si su matriz [matemática] A [/ matemática] tiene 6 filas y 3 columnas, calcule los 3 x 3 menores, es decir, los determinantes de todas las matrices 3 x 3 obtenidas al eliminar 3 filas de la matriz original. Algunos de ellos son distintos de cero si y solo si la ecuación
[matemáticas] Hacha = 0 [/ matemáticas]
no tiene solución no trivial. Dualmente, si su matriz tiene 3 columnas y 6 filas, un menor de 3 x 3 distinto de cero indica que para cualquier [matemática] b [/ matemática] hay [matemática] x [/ matemática] tal que
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[matemáticas] Ax = b [/ matemáticas]
En otras palabras, en ambos casos tener un menor que no sea cero implica que [matemáticas] A [/ matemáticas] tiene un rango máximo; esto es similar a verificar [math] det 0 [/ math] para matrices cuadradas.
Puede ir más allá si su matriz solo tiene entradas integrales: tome el máximo común divisor de todos los menores de 3 × 3. En algunas áreas de las matemáticas, este número se trata como una generalización de un determinante: le dice un poco más que el rango de la matriz. Se puede calcular de manera efectiva, por ejemplo, utilizando la Forma Normal de Smith.