Limitaré mi consideración a esas ecuaciones de la forma que mencionó; es decir, aquellos lineales en [matemáticas] U [/ matemáticas], lo que hay que resolver.
El producto cruzado [con un vector distinto de cero] le ofrece dos ecuaciones escalares linealmente independientes. La tercera ecuación siempre será linealmente dependiente; si lo desea, “el componente en la dirección de [matemática] Y [/ matemática] es cero” no le dice nada sobre [matemática] U [/ matemática].
El producto Dot te da una ecuación escalar linealmente independiente, claramente.
Para especificar [math] U [/ math] completamente, dado que [math] U [/ math] tiene tres componentes, necesita tres ecuaciones escalares linealmente independientes. Por lo tanto, uno debe considerar si las diferentes ecuaciones son linealmente independientes.
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Dos productos cruzados: el segundo producto cruzado da una ecuación linealmente independiente si los vectores no son colineales.
Productos de puntos múltiples: los productos de puntos N dan N ecuaciones si los vectores son linealmente independientes. En general, dan ecuaciones iguales al tramo del espacio.
Un producto de punto, un producto cruzado: ecuaciones linealmente independientes si los vectores de punto y producto cruzado no son ortogonales.
Más en general: suponiendo que las ecuaciones son lineales, aplique métodos de álgebra lineal. Si no, el problema rápidamente se vuelve mucho más complicado.