El teorema de Arquímedes da [matemáticas] 16 (\ textrm {área}) ^ 2 [/ matemáticas] en función de los CUADRADOS de los lados. Llamemos a las longitudes al cuadrado [matemáticas] A, B [/ matemáticas] y [matemáticas] C. [/ matemáticas]
[matemáticas] 16 (\ textrm {área}) ^ 2 = (A + B + C) ^ 2 – 2 (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2) [/ matemáticas]
Las tres longitudes cuadradas están dadas por el teorema de Pitágoras aplicado a las coordenadas. Si etiquetamos el vértice del lado opuesto A con coordenadas [matemáticas] (a_x, a_y, a_z) [/ matemáticas] y similares para los otros vértices,
[matemáticas] A = (b_x – c_x) ^ 2 + (b_y – c_y) ^ 2 + (b_z – c_z) ^ 2 [/ matemáticas]
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y similar para [matemáticas] B [/ matemáticas] y [matemáticas] C [/ matemáticas].
Si las coordenadas son racionales, el área cuadrada es racional y solo se requiere una raíz cuadrada. Una aplicación ingenua de la fórmula de Heron usa cuatro raíces cuadradas.