¿Cuántas matrices de diferentes dimensiones se pueden hacer con 90 entradas?

Answer 1

Supongamos que hacemos una matriz [math] m \ times n [/ math]. Entonces, como hay entradas [matemáticas] 90 [/ matemáticas]

[matemáticas] mn = 90 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Donde [math] m [/ math] y [math] n [/ math] son ​​enteros positivos.

Para que [math] m [/ math] y [math] n [/ math] cumplan esta ecuación, deben ser factores de [math] 90. [/ Math]

[matemáticas] 90 = 2 \ veces 3 ^ 2 \ veces 5 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] 90 [/ matemáticas] tiene [matemáticas] (1 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 12 [/ matemáticas] factores.

Si dejamos que [math] m [/ math] sea cualquiera de estos [math] 12 [/ math] factores, entonces [math] n [/ math] tiene que ser [math] \ big (n = \ frac {90} {m} \ big) [/ math].

Para cada uno de los 12 valores de [math] m [/ math], hay una matriz [math] m \ times n [/ math] que podemos hacer.

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Por lo tanto, hay [math] \ boxed {12} [/ math] tales matrices.

Answer 2

Si entiendo su pregunta, contamos el número de rectángulos de lados enteros con área 90 dado que la orientación es importante. 90 = 1 × 90, 2 × 45, 3 × 30, 5 × 18, 6 × 15 y 9 × 10. Eso es 6 que duplica porque una matriz 1 × 90 no es lo mismo que una matriz 90 X11. Otra forma de llegar al 6 es escribir 90 = 2¹x3²x5¹. 6 = (1 + 1) (2 + 1) (1 + 1) / 2.

Answer 3

La respuesta a esta pregunta es: “¿De cuántas maneras puede ab = 90 para a, b enteros y 1 <= a, b <= 90". Para esto, podemos encontrar estos factores por la fuerza bruta.

Primero, usamos el Tamiz de Eratóstenes para encontrar nuestro límite superior. Una explicación de esto se puede encontrar en Wiki.

√90 es aproximadamente 9,49, por lo que no necesitamos mirar ningún factor por encima de 9.

1. 1 x 90
2. 2 x 45
3. 3 x 30
4. 5 x 18
5. 6 x 15
6. 9 x 10

Más allá de este punto, simplemente repetiremos la lista anterior en orden inverso. Como una matriz mxn es una dimensión diferente que una matriz nxm, duplicamos nuestro recuento anterior.

Por lo tanto, hay 12 dimensiones posibles de una matriz con 90 elementos.