¿Es [1] una matriz escalar, diagonal, diagonal principal o de identidad?

Las matrices del tamaño [matemáticas] 1 \ veces 1 [/ matemáticas] son ​​en gran medida inútiles, debido a las siguientes razones:

  • El producto de las matrices [matemáticas] [a] [/ matemáticas] y [matemáticas] [b] [/ matemáticas] es [matemáticas] [ab] [/ matemáticas].
  • La suma de las matrices [matemáticas] [a] [/ matemáticas] y [matemáticas] [b] [/ matemáticas] es [matemáticas] [a + b] [/ matemáticas].
  • El determinante de la matriz [matemáticas] [a] [/ matemáticas] es [matemáticas] a [/ matemáticas].
  • La traza de la matriz [matemáticas] [a] [/ matemáticas] es [matemáticas] a [/ matemáticas].

En resumen, el hecho de que se trata de matrices no contribuye de ninguna manera a la comprensión de ningún fenómeno. Podríamos haber usado los escalares habituales con la misma facilidad.

De hecho, hay un isomorfismo de anillo canónico entre el conjunto de matrices [matemáticas] 1 \ veces 1 [/ matemáticas] con coeficientes en un anillo [matemáticas] R [/ matemáticas] y los escalares de [matemáticas] R [/ matemáticas] , dada por

[matemáticas] [a] \ mapsto a. [/ matemáticas]

Aún así, si quieres ser muy pedante, solo usa las definiciones para concluir que [matemáticas] [1] [/ matemáticas] es una matriz escalar, diagonal, diagonal principal y de identidad.

Isomórfico pero no idéntico [vea la discusión en ¿Son los escalares equivalentes a las matrices de orden 1 x 1?], Sí, no creo que esa palabra funcione prácticamente en ese contexto [he oído hablar de “la diagonal del principio”, pero nunca escuché como un adjetivo, que parece estar aquí], y sí.

Satisface todo esto: una matriz de identidad es la diagonal principal y, por definición, es diagonal, más 1 es un escalar que satisface las leyes de composición de una matriz 1D.