Desea que su procedimiento minimice [math] || Xc-Y || ^ 2 = (Xc-Y) ^ T (Xc-Y) [/ math]
Para hacer esto, primero expanda para obtener [matemáticas] c ^ TX ^ TXc- (c ^ TX ^ TY + Y ^ TXc) + Y ^ TY [/ matemáticas]
Simplifique el término medio observando que la salida es un número, por lo que puede transponer libremente uno de los términos internos; así, [matemática] c ^ TX ^ TY = Y ^ TXc [/ matemática]. Por lo tanto, la expansión produce de manera equivalente [matemática] c ^ TX ^ TXc-2Y ^ TXc + Y ^ TY [/ matemática]
Ahora, si queremos minimizar esto, por razonamiento de cálculo, queremos, en términos generales, “diferenciar con respecto a [matemáticas] c [/ matemáticas]”. Un pequeño cálculo vectorial (tomando el gradiente con respecto a [matemáticas] c [/ math] -variables) revela que el resultado es [math] (c ^ TX ^ TX + (X ^ TXc) ^ T) -2Y ^ TX [/ math]. [El primer término corresponde a los elementos cuadráticos en [ matemática] c [/ matemática]; el segundo a los ítems lineales en [matemática] c [/ matemática]; y los ítems independientes de [matemática] c [/ matemática] desaparecen, por supuesto.]
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[AL LADO: Es posible que esa explicación no haya hecho clic, porque cómo explicar esto depende de lo que entiendas del cálculo multivariable. Si comprende derivadas parciales pero no gradientes: queremos tomar la derivada con respecto a un componente arbitrario de [math] c [/ math]. Por lo tanto, escriba las derivadas en términos de los componentes de [math] c [/ math], obteniendo un sistema de ecuaciones lineales. Averigua qué es este sistema y encontrarás la expresión anterior, o una equivalente, de todos modos.]
Transponga (por conveniencia expresiva), deje que esto sea igual a cero (ya que estamos minimizando), y es fácil deducir que [matemática] X ^ TXc = X ^ TY [/ matemática], que por supuesto le da lo que desea: una expresión para [matemática] c [/ matemática] en términos del pseudoinverso, [matemática] c = (X ^ TX) ^ {- 1} X ^ TY [/ matemática]. [matemáticas] \ qed [/ matemáticas]