En una respuesta que escribí hoy, afirmé que las transformaciones deben tomar la forma:
[matemáticas] X ‘^ \ mu = \ Lambda ^ \ mu_ \ nu X ^ \ nu [/ matemáticas]
Una transformación lineal . ¿Por qué debe ser esto cierto?
La respuesta es: porque los tensores son increíbles .
- ¿Cuál es el valor de (A vector + B vector)? (punto) (A vector Cross B vector)?
- ¿Qué es un vector resultante?
- ¿Existe un conjunto finito de matrices que están cerradas bajo la suma de matrices y la multiplicación de matrices?
- Cuando declaras una matriz en C, ¿por qué la matriz y la matriz * regresan a la misma dirección? ¿Por qué no sucede esto cuando asigna la matriz?
- ¿Es [1] una matriz escalar, diagonal, diagonal principal o de identidad?
El primer postulado de la relatividad es que las leyes de la física deberían ser las mismas en todos los marcos de referencia.
Por lo tanto, siempre que obtengamos una ecuación, queremos asegurarnos de que funcione para todos los marcos de referencia; si no es así , sabemos que no puede cumplir con el postulado.
Para asegurarnos de que nuestras ecuaciones cumplan con el postulado, queremos escribir nuestras ecuaciones en términos de objetos que se comporten adecuadamente bajo las leyes de transformación.
Tales objetos se llaman tensores .
Tanto [math] \ Lambda [/ math] como [math] X [/ math] allí arriba son tensores (rango 2 y rango 1, respectivamente); nos gustan los tensores debido a las siguientes dos propiedades:
- Cualquier suma de dos tensores para dar un tercer tensor
- Si un tensor es igual a cero en un cuadro, es igual a cero en otro cuadro
Podemos demostrar que esto se deduce directamente del hecho de que los tensores se transforman de acuerdo con transformaciones lineales simples.
Por lo tanto, si tenemos una relación entre dos tensores en un cuadro, es decir:
[matemáticas] A _ {\ mu \ nu} ^ \ sigma = \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} T _ {\ mu \ nu} ^ \ sigma [/ matemáticas]
Podemos reorganizar eso para escribir:
[matemáticas] A _ {\ mu \ nu} ^ \ sigma – \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} T _ {\ mu \ nu} ^ \ sigma = S _ {\ mu \ nu} ^ \ sigma [/ matemáticas]
Donde [math] S _ {\ mu \ nu} ^ \ sigma [/ math] es otro tensor (rango 3) (es decir, usamos la propiedad 1 de los tensores).
Excepto, ya que sabemos que la relación se mantiene en un marco dado, en este marco:
[matemáticas] S _ {\ mu \ nu} ^ \ sigma = 0 [/ matemáticas]
Pero ahora podemos usar la segunda propiedad, para mostrar que:
[matemáticas] S _ {\ mu \ nu} ^ \ sigma = 0 [/ matemáticas] en todos los marcos de referencia
Por lo tanto, una relación que probamos en un cuadro también debe ser verdadera en todos los cuadros, ¡simplemente en virtud de poder escribirla en términos de tensores!
Dado que la relatividad requiere que podamos escribir las leyes de la física de manera tal que sean verdaderas en todos los marcos, ¡es sensato afirmar que todas las leyes de la física pueden escribirse en forma de tensor!
Cualquier relación física que obedezca al posultado de la relatividad se puede escribir como un tensor de algún rango, que es igual a cero:
[matemáticas] \ large \ boxed {\ text {Toda la física:} A _ {\ mu …} ^ {\ nu …} = 0} [/ math]
(¡Lo difícil es descubrir qué es [matemáticas] A [/ matemáticas]!)
Por lo tanto, para preservar la tensoridad de nuestras relaciones, requerimos que las transformaciones sean lineales.
Si esto no es cierto, entonces perdemos tensores, y así perdemos el principio de relatividad.
Y eso es malo .
Por lo tanto, para evitar lo malo: ¡tratamos de mantener los tensores siempre que sea posible!
Y tensores == transformaciones lineales!
