Según entiendo su pregunta, su problema no es que [math] \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} [/ math] sea perpendicular a [math] \ mathbf {a} [/ math] y [ math] \ mathbf {b} [/ math], pero que la magnitud de [math] \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} [/ math] tiene que ser la del paralelogramo cuyos lados no paralelos están orientados a lo largo de [math] \ mathbf {a} [/ math] y [math] \ mathbf {b} [/ math].
Honestamente, este es el caso.
Supongamos que quiero crear una operación [math] \ times [/ math] que, cuando se aplica a dos vectores [math] \ mathbf {a} [/ math] y [math] \ mathbf {b} [/ math], produce un vector perpendicular a ambos de acuerdo con la regla de la mano derecha. (¿Por qué la regla de la mano derecha? Porque así es como funciona nuestro sistema de coordenadas). Primero me aseguraría de que lo siguiente sea cierto:
[math] \ mathbf {i} \ times \ mathbf {j} = \ mathbf {k}; \ quad \ mathbf {j} \ times \ mathbf {i} = – \ mathbf {k}. [/ math]
Razonable, ¿verdad? Bueno, puede preguntarme “¿por qué no [matemáticas] 2 \ mathbf {k} [/ matemáticas], o [matemáticas] \ frac {1} {2} \ mathbf {k} [/ matemáticas]? ¿Por qué [math] \ mathbf {k} [/ math]? “Mi respuesta sería” esa es la respuesta más simple de todas las mencionadas que es perpendicular a [math] \ mathbf {i} [/ math] y [math] \ mathbf {j} [/ math]. Y prefiero respuestas simples “.
Entonces, en una línea similar, decidamos que
[math] \ mathbf {j} \ times \ mathbf {k} = \ mathbf {i}; \ quad \ mathbf {k} \ times \ mathbf {j} = – \ mathbf {i} [/ math]
y
[math] \ mathbf {k} \ times \ mathbf {i} = \ mathbf {j}; \ quad \ mathbf {i} \ times \ mathbf {k} = – \ mathbf {j}. [/ math]
Esto es lo que significa la regla de la mano derecha, por cierto. Significa que el producto cruzado de dos vectores consecutivos de la lista [math] \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k}, \ mathbf {i} [/ math] es positivo, mientras que es negativo para dos vectores consecutivos tomados de la reversión de esa lista.
De todos modos, necesitamos otra regla importante. ¿Qué vamos a hacer cuando multipliquemos dos vectores paralelos? Por ejemplo, ¿qué es [math] \ mathbf {i} \ times \ mathbf {i} [/ math]? Hay infinitos vectores que son perpendiculares al vector [math] \ mathbf {i} [/ math], entonces, ¿cuál vamos a elegir? La respuesta es: el vector cero . Si lo piensas, ¡el vector cero es realmente perpendicular a cada vector! Así que también decidamos que
[math] \ mathbf {i} \ times \ mathbf {i} = \ mathbf {0} [/ math]
[math] \ mathbf {j} \ times \ mathbf {j} = \ mathbf {0} [/ math]
[math] \ mathbf {k} \ times \ mathbf {k} = \ mathbf {0}. [/ math]
Eso es. Hemos terminado.
P : “¿Qué? ¿Ni siquiera estamos cerca de terminar? ¿Qué pasa con los productos cruzados de todos los otros vectores aparte de [math] \ mathbf {i} [/ math], [math] \ mathbf {j} [/ math] y [math] \ mathbf {k} [/ math] ?
Alex : “¿Te refieres a vectores como [math] 2 \ mathbf {i} -3 \ mathbf {j} +4 \ mathbf {k} [/ math]? Oh, solo abre los soportes como de costumbre.
P : “¿Qué quieres decir?”
Alex : “Me refiero a algo como esto:”
[matemáticas] (2 \ mathbf {i} -3 \ mathbf {j} +4 \ mathbf {k}) \ times (3 \ mathbf {i} -2 \ mathbf {j} + \ mathbf {k}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 6 (\ mathbf {i} \ times \ mathbf {i}) – 4 (\ mathbf {i} \ times \ mathbf {j}) + 2 (\ mathbf {i} \ times \ mathbf {k} ) -9 (\ mathbf {j} \ times \ mathbf {i}) + 6 (\ mathbf {j} \ times \ mathbf {j}) – 3 (\ mathbf {j} \ times \ mathbf {k}) + 12 (\ mathbf {k} \ times \ mathbf {i}) – 8 (\ mathbf {k} \ times \ mathbf {j}) + 4 (\ mathbf {k} \ times \ mathbf {k}) [/ math ]
[matemáticas] = 6 (\ mathbf {0}) – 4 (\ mathbf {k}) + 2 (- \ mathbf {j}) – 9 (\ mathbf {-k}) + 6 (\ mathbf {0}) -3 (\ mathbf {i}) + 12 (\ mathbf {j}) – 8 (- \ mathbf {i}) + 4 (\ mathbf {0}) [/ math]
[matemáticas] = – 4 \ mathbf {k} -2 \ mathbf {j} +9 \ mathbf {k} -3 \ mathbf {i} +12 \ mathbf {j} +8 \ mathbf {i} [/ math]
[math] = – 6 \ mathbf {i} +10 \ mathbf {j} +5 \ mathbf {k}. [/ math]
Alex : “¿Ves lo fácil que fue?”
P : “Está bien, lo entiendo ahora. ¿Pero es esto lo mismo que el producto cruzado que ya conozco?
Alex : “Claro. Y, para mostrarle que es exactamente el mismo producto cruzado que conoce, demostraré que la magnitud de [math] \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} [/ math] producida por mi producto cruzado es igual a [math] | \ mathbf {a} | \, | \ mathbf {b} | \ sin \ theta [/ math] “.
P : “Uh, está bien, adelante entonces”.
Alex : “Prepárate, esto será un bocado”.
Vamos a demostrar que [mathb] {\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} | ^ 2 = | \ mathbf {a} | ^ 2 | \ mathbf {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta [/matemáticas]. Se nos permite hacer esto porque la magnitud de un vector no es negativa, por lo que no tenemos ningún problema con las raíces cuadradas.
En primer lugar, suponga que [math] \ mathbf {a} = a_1 \ mathbf {i} + a_2 \ mathbf {j} + a_3 \ mathbf {k} [/ math] y [math] \ mathbf {b} = b_1 \ mathbf {i} + b_2 \ mathbf {j} + b_3 \ mathbf {k} [/ math]. Luego, usando la misma técnica que la anterior:
[math] \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = (a_1 \ mathbf {i} + a_2 \ mathbf {j} + a_3 \ mathbf {k}) \ times (b_1 \ mathbf {i} + b_2 \ mathbf {j} + b_3 \ mathbf {k}) [/ math]
[math] = (a_2b_3-a_3b_2) \ mathbf {i} + (a_3b_1-a_1b_3) \ mathbf {j} + (a_1b_2-a_2b_1) \ mathbf {k}. [/ math]
Así
[math] | \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} | ^ 2 = (a_2b_3-a_3b_2) ^ 2 + (a_3b_1-a_1b_3) ^ 2 + (a_1b_2-a_2b_1) ^ 2. \ tag {1} [ /matemáticas]
Por otra parte,
[matemáticas] | \ mathbf {a} | ^ 2 | \ mathbf {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta = | \ mathbf {a} | ^ 2 | \ mathbf {b} | ^ 2 (1- \ cos ^ 2 \ theta) = | \ mathbf {a} | ^ 2 | \ mathbf {b} | ^ 2- | \ mathbf {a} | ^ 2 | \ mathbf {b} | ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta [/matemáticas]
[matemáticas] | \ mathbf {a} | ^ 2 | \ mathbf {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b}) – (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) ^ 2 [/ math]
[matemáticas] = (a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + a_3 ^ 2) (b_1 ^ 2 + b_2 ^ 2 + b_3 ^ 2) – (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (a_1 ^ 2b_1 ^ 2 + a_1 ^ 2b_2 ^ 2 + a_1 ^ 2b_3 ^ 2 + a_2 ^ 2b_1 ^ 2 + a_2 ^ 2b_2 ^ 2 + a_2 ^ 2b_3 ^ 2 + a_3 ^ 2b_1 ^ 2 + a_3 ^ 2b_2 ^ 2 + a_3 ^ 2b_3 ^ 2) – (a_1 ^ 2b_1 ^ 2 + a_2 ^ 2b_2 ^ 2 + a_3 ^ 2b_3 ^ 2 + 2a_1a_2b_1b_2 + 2a_1a_3b_1b_3 + 2a_2a_3b_2b_3) [/ matemática]
[matemática] = a_1 ^ 2b_2 ^ 2 + a_1 ^ 2b_3 ^ 2 + a_2 ^ 2b_1 ^ 2 + a_2 ^ 2b_3 ^ 2 + a_3 ^ 2b_1 ^ 2 + a_3 ^ 2b_2 ^ 2-2a_1a_2b_1b_2-2a_1a_3b_1b_3-2a_2a_3__22__3_2
[matemática] = (a_1 ^ 2b_2 ^ 2-2a_1b_2a_2b_1 + a_2 ^ 2b_1 ^ 2) + (a_1 ^ 2b_3 ^ 2-2a_1b_3a_3b_1 + a_3 ^ 2b_1 ^ 2) + (a_2 ^ 2b_3 ^ 2-2a_2b_3a_3b_2 + 2 ).[/matemáticas]
[matemáticas] | \ mathbf {a} | ^ 2 | \ mathbf {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta = (a_1b ^ 2-a_2b_1) ^ 2 + (a_1b_3-a_3b_1) ^ 2 + (a_2b_3-a_3b_2 ) ^ 2. \ Tag {2} [/ math]
Al comparar [matemáticas] (1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (2) [/ matemáticas], se establece el resultado.
(Tenga en cuenta que, como corolario, también hemos demostrado que [mathb | {mathbf {a} \ times \ mathbf {b} | ^ 2 = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b}) – (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) ^ 2 [/ math], un resultado que es interesante por derecho propio)
Uf.
