¿Necesita saber álgebra lineal para el análisis de Fourier?

Answer 1

Si solo está aplicando Fourier a un problema o situación en particular, no lo necesita.

Si eres matemático, lo disfrutarás. ¿Por qué?

Considera un conjunto de elementos “e1, e2, …” (un conjunto de elementos, hombre, eso es mucho, desde los puntos del papel en blanco en su escritorio, hasta los números de teléfono de cada niña en la escuela). Ahora considere los elementos de un “campo” f1, f2, … Un campo es otro conjunto en el que ha sido tan lindo haber inventado una regla para la suma y una regla para la multiplicación (básicamente). De nuevo podrían ser números, sí, pero cualquier cosa funciona (por la misma razón que dices 3 + 2 = 5, puedes decir Alice + Bob = Jake o Jake * bat = duele).

Ahora puede poner una regla para “mezclar” ambos conjuntos (elementos y elementos de un campo) diciendo que e38 = 3 * e2 + 23 * e3

y dices que la dimensión de e sobre f es 2 porque solo necesitabas 2 e para llegar a e38 desde e2 y e3 que se llaman “elementos de una base” porque “basado en ellos” puedes encontrar dos f para alcanzar cualquier “e”.

Decimos que “e1, e2, …” es un espacio vectorial sobre “f1, f2, …”

Existen muchos teoremas, técnicas y resultados desarrollados para espacios vectoriales (matrices, vectores propios, … muchos)

Ahora desea saber cómo evoluciona la temperatura en una barra, una superficie, etc.

te quedas atascado en una ecuación diferencial de derivadas parciales. Hombre, no hay forma de encontrar una solución, te rindes.

un matemático viene al rescate

“Entonces solo necesitas una solución, ¿no? ¿Qué es una solución? bueno, no es el número de teléfono de una chica, esta vez no. Pero ES UNA FUNCIÓN R → R y hemos visto que cualquier función se puede expresar en términos de adiciones infinitas de pecado y cos como esta

cualquier F (x) = f1 * sin (x) + f2 * cos (x) + …… siendo f1, f2, .. de R (un campo)

pero nuestra e = f1 * e1 + f2 * e2

entonces “el conjunto de funciones continuas es un espacio vectorial sobre R con dimensión infinita” y el conjunto de funciones (sin, cos, sin, …) es una base del espacio vectorial.

el siguiente es ir a través de todos los espacios vectoriales con resultados brillantes y encontrar resultados interesantes para sus temperaturas.

Answer 2

sí, ABSOLUTAMENTE , necesita una buena comprensión del álgebra lineal si realmente quiere aprender el análisis de Fourier

(1) Análisis de funciones fluidas con soporte compacto en el espacio de Fourier: realmente necesita mucha LA.

(2) Análisis de distribución templada: necesita mucha LA

(3) Análisis de funciones lineales continuas en espacios de Schwartz: un montón de LA y FA

(4) Transformada de Fourier [matemática] \ Leftrightarrow [/ matemática] Álgebra lineal + Espacios de Hilbert.

(5) ¿Qué es la transformada discreta de Fourier? como una transformación lineal de un espacio vectorial finito a un espacio vectorial finito

(6) Procesamiento de imagen: en el procesamiento de imágenes, la compresión de una imagen de alta calidad (.jpeg) no es más que la aplicación de un algoritmo FT desarrollado y ese algo se basa en gran medida en la aplicación de LA en FFT (transformación rápida de Fourier)

Podría seguir, así que si estás aprendiendo FA solo como un curso en tu plan de estudios de Matemáticas y no quieres profundizar en él, entonces no necesitas mucha LA, pero si quieres ir a un nivel un poco más alto en FA, Álgebra Lineal es IMPRESCINDIBLE.

Estoy hablando por experiencia, he estado trabajando en la transformación fraccional de Fourier (FrFT) durante más de un año, y cuando lo comencé pensé “¿qué está pasando?” y después de tomar un curso sobre LA y Topología, me resultó mucho más fácil.

Answer 3

Tome uno de los teoremas más interesantes en el análisis de Fourier:

Deje que [math] C_ {2 \ pi} (\ mathbb R, \ mathbb C) [/ math] sea el espacio interno del producto de funciones complejas periódicas, [math] 2 \ pi [/ math] de variable real, con El producto interno definido por:

[matemáticas] \ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ bar {f} (t) g (t) dt \ tag *{}[/matemáticas]

Entonces la familia [math] (e_n) _ {n \ in \ mathbb Z} [/ math], donde [math] e_n (x) = e ^ {inx} [/ math] es ortonormal y total.

No necesitas absolutamente el álgebra lineal para aprender la serie de Fourier, pero sí si quieres entenderlo razonablemente.

Answer 4

1. No necesita saber álgebra lineal para usar el análisis de Fourier.
2. Definitivamente necesita álgebra lineal si desea apreciar completamente el análisis de Fourier.
3. Todavía estoy en medio de un debate interno sobre si necesitas saber álgebra lineal o no para entender realmente el análisis de Fourier. (Me estoy inclinando hacia el no, pero el lado sí del argumento es bastante convincente).