¿De qué sirve calcular determinantes?

Answer 1

Una aplicación de determinantes que me gusta mucho es que pueden usarse para calcular el número de árboles de expansión en un gráfico. Esta es la declaración del teorema de Kirchhoff (Wikipedia). Dado que se puede calcular el determinante de una matriz en tiempo polinómico en la longitud de codificación de la matriz, esto muestra que se puede calcular el número de árboles de expansión de un gráfico en tiempo polinómico.

Una observación secundaria quizás interesante: contar el número de coincidencias o coincidencias perfectas en un gráfico es un problema # P-completo, incluso para gráficos bipartitos (Wikipedia). Por otro lado, este problema está relacionado con el cálculo del permanente de una matriz (Wikipedia). La definición del determinante y permanente de una matriz se ve muy similar. Para una matriz [math] A \ en R ^ {n \ times n} [/ math], donde [math] R [/ math] es un anillo arbitrario, uno tiene:

[math] \ operatorname {perm} A = \ sum _ {\ sigma \ en S_n} \ prod_ {i = 1} ^ n A_ {i, \ sigma \ left (i \ right)}, [/ math]

[math] \ det A = \ sum _ {\ sigma \ en S_n} \ operatorname {sgn} \ sigma \ prod_ {i = 1} ^ n A_ {i, \ sigma \ left (i \ right)}, [/ math ]

Y aun así, estas dos funciones parecen ser tan diferentes en términos del tiempo necesario para calcularlas (si uno pudiera calcular el permanente de una matriz integral en tiempo polinómico, esto implicaría P = NP).

Answer 2

El determinante de una matriz te dice cómo la matriz está transformando áreas. (o volúmenes o lo que sea el análogo n-dimensional apropiado.

Si el determinante es 0, le dice que la matriz es singular, no es invertable y que tiene un núcleo no trivial.

Si el determinante es negativo, la transformación invierte la orientación.

Si el determinante es igual a [math] \ pm 1 [/ math], la transformación conserva el área (volumen). El conjunto de matrices de determinante [math] \ pm 1 [/ math] forma el Grupo Lineal Especial.

Los determinantes se usan para encontrar el polinomio característico que luego se puede usar para encontrar los valores propios y los vectores propios de la matriz. Y le permite diagonalizar la matriz, que es una propiedad muy útil.