La pregunta podría necesitar alguna modificación. Simplemente explicaré cómo calcular [math] \ phi ^ *. [/ Math] [math] \ phi ^ * [/ math] mapas de ([math] \ mathbb {R} ^ 3) ^ * [/ math] a [math] (\ mathbb {R} ^ 2) ^ * [/ math] por definición.
Algunas anotaciones básicas. Sea [math] e_1, e_2, e_3 [/ math] la base de [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]. (De manera similar para [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]). La base dual en [math] (\ mathbb {R} ^ 3) ^ * [/ math] es [math] \ delta_1, \ delta_2, \ delta_3 [/ math] tal que [math] \ delta_i (e_j) [/ matemática] es igual a 1 iff [matemática] i = j [/ matemática] y 0 en caso contrario.
[math] A [/ math] es la representación matricial de [math] \ phi: \ mathbb {R} ^ 2 \ mapsto \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] significa que [math] \ phi (e_i) = \ sum_j A_ {ij} e_j, \ mbox {for} i = 1,2. [/ math]
El mapa dual [math] \ phi ^ * [/ math] se define de manera tal que [math] \ langle \ phi ^ * (u), v \ rangle = \ langle u, \ phi (v) \ rangle, \ forall u \ in (\ mathbb {R} ^ 3) ^ * \ mbox {y} v \ in \ mathbb {R} ^ 2. [/ math] (Por lo tanto, es un mapa de [math] (\ mathbb {R} ^ 3) ^ * \ mbox {to} v \ in (\ mathbb {R} ^ 2) ^ * [/ math])
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Para calcular [math] \ phi ^ *, [/ math] solo necesitamos saber cómo actúa sobre cada una de las bases en su dominio.
[matemáticas] \ langle \ phi ^ * (\ delta_i), e_j \ rangle = \ langle \ delta_i, \ phi (e_j) \ rangle = \ langle \ delta_i, \ sum_kA_ {jk} e_k \ rangle = A_ {ji}. [/ math] Como esto es válido para cualquier i, j, tenemos [math] \ phi ^ * (\ delta_i) = \ sum_jA_ {ji} \ delta_j. [/ math] Esto define lo que [math] \ phi ^ * [ / math] es y también indica que la representación matricial de [math] \ phi ^ * [/ math] es [math] A ^ T [/ math] (transposición de A).
Hay algunos detalles no explicados. Puede obtener algo de contexto de sitios web como el formulario lineal: Wikipedia.