Cómo determinar el rango de una matriz de acuerdo con su estructura

Gracias por el A2A. Supongo que “estructura” se refiere a los valores reales de los elementos, ya sean numéricos o simbólicos. A continuación, hablaré sobre el rango de fila y las operaciones de fila (es una consecuencia del teorema fundamental del álgebra lineal que el rango de fila y el rango de columna de una matriz son siempre iguales).

Recuerde que las operaciones de fila elemental no modifican el rango de una matriz. En otras palabras, podemos agregar múltiplos de filas distintos de cero a otras filas, podemos reemplazar filas por sus múltiplos distintos de cero, podemos cambiar dos filas y el rango seguirá siendo el mismo.

La razón por la que esto tiene sentido es que el rango (fila) de una matriz corresponde al subespacio que abarca sus filas. Si el rango es [matemática] n [/ matemática], entonces tenemos [matemática] n [/ matemática] filas linealmente independientes, y las operaciones de fila, vistas como operaciones en vectores, no pueden saltar fuera del conjunto linealmente independiente ni colapsar a uno más pequeño.

Con esto en mente, la idea es que vamos a utilizar operaciones de fila elementales para convertir la matriz en una cuyo rango sea obvio por inspección. Como ambas matrices tienen el mismo rango, esto nos dirá el rango de la matriz original.

Ahora, una forma a la que siempre se puede llevar una matriz mediante una secuencia de operaciones de fila es lo que se llama la forma escalonada de fila. De esta forma, el primer número distinto de cero en cada fila está estrictamente a la izquierda del primer número distinto de cero de la fila debajo de él.

Por ejemplo,

[matemáticas] \ begin {bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 \\ 0 & 0 & b_1 & b_2 & b_3 \\ 0 & 0 & 0 & c_2 & c_3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]

está en forma de escalón de fila. Hay tres filas distintas de cero, y está claro que ninguna de ellas se puede combinar para eliminar otra fila distinta de cero (ya que cada fila tiene un elemento distinto de cero que ninguna otra fila tiene, o un cero que ninguna otra fila tiene), por lo tanto el rango es 3.

El procedimiento de aplicar operaciones de fila hasta que la matriz esté en forma escalonada se llama eliminación de Gauss-Jordan. La eliminación de Gauss-Jordan funciona cuando el problema es lo suficientemente pequeño como para hacerlo en papel, o cuando la eliminación es simbólica.

El problema es que Gauss-Jordan es lo que se llama numéricamente inestable, por lo que para aplicaciones numéricas, generalmente se prefieren transformaciones “reveladoras de rango” como la factorización RRQR.

Hay muchas formas Existe la descomposición LU, la descomposición QR, la descomposición SVD. Hay variantes de todos estos. La descomposición de LU es la eliminación gaussiana, el QR es gram schmidt, aunque hay una transformación de cabeza de familia. También existe la descomposición SVD. Y el pseudo inverso de Moore-Penrose.