Si dos matrices son equivalentes de fila, ¿significa que sus determinantes son iguales?

Answer 1

No: cada matriz invertible es equivalente a la fila de la matriz de identidad, lo que significa que cada matriz con un determinante distinto de cero es equivalente a la fila de cualquier otra matriz con un determinante distinto de cero.

Sin embargo, lo que es cierto es que dos matrices son equivalentes a filas si (y solo si) tienen el mismo espacio nulo, y cualesquiera dos matrices equivalentes a filas tienen el mismo rango.

Esto es fácil de ver intuitivamente: si las filas [math] n [/ math] de una matriz abarcan algún subespacio de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] (o cualquier espacio vectorial en el que estemos), entonces es imposible “saltar” de ese subespacio agregando múltiples vectores dentro de él. En otras palabras, los subespacios se cierran bajo la suma y escala del vector.

Por el contrario, es imposible reducir el rango de una matriz mediante operaciones de fila elementales, porque esto implicaría que hemos logrado convertir un conjunto de vectores linealmente independientes en un conjunto más pequeño, lo que significa que, para empezar, no eran linealmente independientes.