¿Por qué el área es un vector?

Answer 1

Me gustaría darte una respuesta intuitiva. Probablemente esté en la escuela secundaria y resuelva problemas de física o matemáticas en los que la dirección del vector de área probablemente parezca inútil en el uso diario.

Tomaré un ejemplo. Supongo que sabes que Torque se da vectorialmente como:

[matemáticas] T = r \ veces F [/ matemáticas]

Ahora que es un producto cruzado. Esa también es un área vectorial, ¿verdad? Los productos cruzados dan el área del paralelogramo con una dirección. A menudo denotamos la dirección de este vector de área como la dirección del par.

Probablemente encuentre la dirección del par utilizando la regla de la mano derecha. ¿Pero alguna vez se preguntó de dónde vino esta convención?

Ahora diga que es un matemático experto y que uno de sus colegas, experto en física, le da un conjunto de ecuaciones físicas para resolver. Su objetivo es resolver la ecuación y la suya es interpretar el significado físico. Entonces, en ese punto, no conoce el significado físico real de los productos cruzados en la ecuación, a diferencia del caso del par.

Ahora, si desea sumar o restar dos productos cruzados, conocer su dirección (vector de área) sería muy útil, ya que tendrían que simplemente sumarlos o restarlos vectorialmente en lugar de profundizar en el tema para obtener el significado físico.

En conclusión, nunca necesitaría un vector de área para calcular áreas. Más bien, los usará mientras computa productos cruzados (uno de los usos).

Otro uso que me gustaría mencionar es que solo con un vector de área puede describir una superficie plana por completo. Ejemplo: el plano xy puede dar como resultado un vector de área en z así como en direcciones -z. Pero una vez que define el vector de área, se pueden distinguir ambos.

Espero que ayude.

Answer 2

Creo que te estás refiriendo a la noción de que una superficie 2D plana (denominada área) que se encuentra en el espacio 3D se puede representar con un vector. Esto se debe al hecho de que los vectores son en realidad una forma muy conveniente de representar áreas en el espacio 3D.

Recuerde que los vectores tienen dos propiedades, una longitud (o magnitud ) y una dirección.

Un área plana en el espacio 3D también tiene dos propiedades similares, la cantidad de área y una orientación.

Si tiene algún área, digamos que tiene área [matemática] A [/ matemática] y se enfrenta al eje x positivo en nuestro sistema de coordenadas. Puede representar esta área con un vector, [math] \ mathbf {A} [/ math], cuyo componente escrito sería [math] (A, 0, 0). [/ Math] Si se enfrentara a lo positivo eje y, [math] \ mathbf {A} [/ math] sería [math] (0, A, 0) [/ math].

Otra forma de escribir [math] \ mathbf {A} [/ math] es [math] A \ cdot \ mathbf {n} [/ math] donde [math] \ mathbf {n} [/ math] es un vector normal , un vector con una magnitud de 1. En esta notación, [math] A [/ math] representa el área de la superficie que representa nuestro vector, y [math] \ mathbf {n} [/ math] determina su orientación.

Answer 3

El vector de área es un vector cuya magnitud es igual al área y se dirige normal a la superficie. El área como tal es un escalar. Por lo tanto, el vector de área se define como anteriormente para su uso en los cálculos y la definición de algunos otros términos como par en un circuito de transporte de corriente en un campo magnético, etc.