Si la matriz A = [1, 0; 1, 1], entonces, ¿qué es a ^ n?

Answer 1

Si te refieres a la matriz: [matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} [/ math], podemos usar el siguiente método para determinar [math] A ^ n [/ math] :

Deje que [matemáticas] A ^ n = \ begin {pmatrix} a_ {n} & b_ {n} \\ c_ {n} & d_ {n} \ end {pmatrix} [/ math]

Sabemos que [matemáticas] A ^ {n + 1} = A * A ^ n [/ matemáticas]

Por lo tanto: [matemáticas] \ begin {pmatrix} a_ {n + 1} & b_ {n + 1} \\ c_ {n + 1} & d_ {n + 1} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} * \ begin {pmatrix} a_ {n} & b_ {n} \\ c_ {n} & d_ {n} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} a_ {n} & b_ {n} \\ a_ {n} + c_ {n} & b_ {n} + d_ {n} \ end {pmatrix} [/ math]

Luego tenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:

[matemáticas] \ begin {cases} a_ {n + 1} = a_ {n} \\ b_ {n + 1} = b_ {n} \\ c_ {n + 1} = a_ {n} + c_ {n} \\ d_ {n + 1} = b_ {n} + d_ {n} \ end {cases} [/ math]

Además de las condiciones iniciales:

[matemáticas] \ begin {cases} a_ {1} = 1 \\ b_ {1} = 0 \\ c_ {1} = 1 \\ d_ {1} = 1 \ end {cases} [/ math]

Por lo tanto, [math] a_ {n} = 1 [/ math] para todos [math] n [/ math], así como [math] b_ {n} = 0 [/ math]. Del último tenemos [math] d_ {n + 1} = d_ {n} [/ math], y por lo tanto [math] d_ {n} = 1 [/ math] para todos [math] n [/ math] .

Ahora todo queda por determinar qué es [math] c_ {n} [/ math]; tenemos [matemáticas] c_ {n + 1} = c_ {n} + 1 [/ matemáticas]. Como [math] c_ {1} = 1 [/ math], tenemos que [math] c_ {n} [/ math] debe ser igual a [math] n [/ math] (puede probar esto ya sea resolviendo la recurrencia relación o uso de inducción finita); entonces podemos escribir:

[matemáticas] A ^ n = \ begin {pmatrix} 1 y 0 \\ n & 1 \ end {pmatrix} [/ math]