Trataré de dar una respuesta para calcularlo usando técnicas numéricas, pero no estoy seguro de que funcione o no. Digamos que tiene una función [matemática] f (x) [/ matemática] (estoy dando un ejemplo usando una sola dimensión pero eso también sería cierto para otros). Digamos que la curva de la función se ve como se muestra a continuación.
Ahora, discretizamos la función continua en puntos discretos y los unimos por segmentos de línea. Tenga en cuenta que a medida que los segmentos de línea se vuelven cada vez más pequeños, la suma de las longitudes de estos segmentos de línea daría la longitud del arco de la curva. En otras palabras, a medida que acerca los puntos discretos cada vez más cerca, el error entre la longitud aproximada y la longitud real del arco sería menor.
Entonces, tomemos la línea [matemáticas] P_0 [/ matemáticas] a [matemáticas] P_1 [/ matemáticas] con las coordenadas [matemáticas] (f (x_0), x_0) [/ matemáticas] y [matemáticas] (f (x_1), x_1) [/ matemáticas]. la longitud de la línea se convierte en [matemáticas] \ sqrt {(f (x_0) -f (x_1)) ^ 2 + (x_0-x_1) ^ 2)} [/ matemáticas] que es básicamente [matemáticas] \ sqrt {( \ Delta f (x_0) ^ 2 + \ Delta x_0 ^ 2)} [/ math].
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Nuevamente, [matemáticas] \ sqrt {(\ Delta f (x_0) ^ 2 + \ Delta x_0 ^ 2)} = \ sqrt {(\ Delta f (x_0) / \ Delta x_0) ^ 2 + 1} * \ Delta x_0 [/ matemáticas] ……… (1)
Entonces, ahora necesitamos el valor del cambio de función a medida que cambiamos xy aquí viene la serie de Taylor a nuestro rescate.
La serie de Taylor dice [matemáticas] f (x + h) = f (x) + f ‘(x) * h + f’ (x_0) * h ^ 2/2 +…. [/ Matemáticas]
Ahora sabemos que, [matemática] \ Delta [/ matemática] [matemática] f (x_0) = f ‘(x_0) * h + f’ ‘(x_0) * h ^ 2/2 +… [/ matemática], que se puede sustituir en la ecuación (1) para obtener la longitud de [math] P_0 P_1 [/ math] y de manera similar para otros segmentos de línea.
Entonces, la longitud del arco se convertiría en L = [matemática] longitud (P_0P_1) + longitud (P_1P_2) + longitud (P_2P_3) + …… [/ matemática]
y tomando un intervalo más pequeño casi alcanzaremos la longitud real del arco.
Gracias por el A2A.
Nota: aquí [matemáticas] \ Delta [/ matemáticas] significa solo la diferencia