Suponiendo que [math] n [/ math] es un entero positivo
Dejar:
[matemáticas] I_n = \ displaystyle \ int \ dfrac {nx ^ {n-1}} {1 + x} \, dx [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ displaystyle \ int nx ^ {n-1} \, dx – \ displaystyle \ int \ dfrac {nx ^ n} {1 + x} \, dx [/ math]
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[matemáticas] = x ^ n – \ dfrac {n} {n + 1} I_ {n + 1} [/ matemáticas]
Reorganizando la ecuación que obtenemos;
[matemáticas] I_ {n + 1} = \ dfrac {n + 1} {n} x ^ n – \ dfrac {n + 1} {n} I_ {n} [/ matemáticas]
Reemplazando [math] n [/ math] por [math] n-1 [/ math] obtenemos:
[matemáticas] I_n = \ dfrac {n} {n-1} x ^ {n-1} – \ dfrac {n} {n-1} I_ {n-1} \ ldots (1) [/ matemáticas]
Nuevamente reemplazando [math] n [/ math] por [math] n-1 [/ math] y continuando
[matemáticas] I_ {n-1} = \ dfrac {n-1} {n-2} x ^ {n-2} – \ dfrac {n-1} {n-2} I {n-2} [/ matemáticas]
[matemáticas] I_ {n-2} = \ dfrac {n-2} {n-3} x ^ {n-3} – \ dfrac {n-2} {n-3} I_ {n-3} [/ matemáticas]
[matemáticas]. [/matemáticas]
[matemáticas]. [/ matemáticas]
[matemáticas]. [/ matemáticas]
[matemáticas]. [/ matemáticas]
[matemáticas] I_1 = \ log (1 + x) [/ matemáticas]
Usando todos los valores en la ecuación [matemáticas] (1) [/ matemáticas] obtenemos:
[matemáticas] I_n = \ dfrac {n} {n-1} x ^ {n-1} – \ dfrac {n} {n-2} x ^ {n-2} + \ dfrac {n} {n-3 } x ^ {n-3} – \ ldots + (-1) ^ {n-1} \ log (1 + x) [/ math]
