Ver números como vectores
Comencemos de manera simple y tratemos 3 x 4 como un producto de punto:
El número 3 es “crecimiento direccional” en una sola dimensión (el eje x, digamos), y 4 es “crecimiento direccional” en esa misma dirección. 3 x 4 = 12 significa que tenemos un crecimiento de 12x en una sola dimensión. Okay.
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Ahora, suponga que 3 y 4 se refieren a diferentes dimensiones. Digamos que 3 significa “triplicar tus bananas” (eje x) y 4 significa “cuadruplicar tus naranjas” (eje y). Ahora no son el mismo tipo de número: ¿qué sucede cuando aplicamos crecimiento (use el producto de puntos) en nuestro universo de “plátanos, naranjas”?
- (3,0) significa “Triplique sus bananas, destruya sus naranjas”
- (0,4) significa “Destruye tus plátanos, cuadruplica tus naranjas”
Aplicar (0,4) a (3,0) significa “Destruye el crecimiento de tu banana, cuadruplica tu crecimiento de naranja”. Pero (3, 0) no tenía crecimiento de naranja para empezar, por lo que el resultado neto es 0 (“Destruye toda tu fruta, amigo”).
¿Ves cómo estamos “aplicando” y no simplemente agregando? Con la suma regular, eliminamos los vectores juntos: (3,0) + (0, 4) = (3, 4) [un vector que triplica tus naranjas y cuadruplica tus plátanos].
La “aplicación” es diferente. Estamos mutando el vector original según las reglas del segundo. Y las reglas de (0, 4) son “Destruye el crecimiento de tu banana y cuadruplica tu crecimiento de naranja”. Cuando se aplica a algo con solo bananas, como (3, 0), nos quedamos sin nada.
El resultado final del proceso del producto punto puede ser:
- Cero: no tenemos ningún crecimiento en la dirección original
- Número positivo: tenemos cierto crecimiento en la dirección original
- Número negativo: tenemos un crecimiento negativo (inverso) en la dirección original
Comprensión del cálculo
“Aplicar vectores” sigue siendo un poco abstracto. Pienso “¿Cuánta energía / empuje le está dando un vector al otro?”. Así es como lo visualizo:
Coordenadas rectangulares: solapamiento componente por componente
Al igual que multiplicar números complejos, vea cómo interactúa cada componente x e y:
Enumeramos las cuatro combinaciones (x con x, y con x, x con y, y con y). Dado que las coordenadas x e y no se afectan entre sí (como sostener un cubo de lado debajo de una cascada, no cae nada), la absorción de energía total es absorción (x) + absorción (y):
Coordenadas polares: proyección
La palabra “proyección” es tan estéril: prefiero “a lo largo del camino”. ¿Cuánta energía está yendo realmente en nuestra dirección original?
Aquí hay una forma de verlo:
Toma dos vectores, a y b. Gire nuestras coordenadas para que b sea horizontal: se convierte en (| b |, 0), y todo está en este nuevo eje x. ¿Cuál es el producto de punto ahora? (No debería cambiar solo porque inclinamos la cabeza).
Bueno, el vector a tiene nuevas coordenadas (a1, a2), y obtenemos:
a1 es realmente “¿Cuál es la coordenada x de a, suponiendo que b es el eje x?”. Es decir | a | cos (θ), también conocida como “proyección”:
fuente: lecciones de matemáticas para una visión duradera.