¿Qué hace que las ecuaciones lineales sean lineales? ¿+ B no lo hace no lineal?

Answer 1

En términos generales, una función lineal [matemática] f (x) [/ matemática] es tal que

1. [matemáticas] f (x + y) = f (x) + f (y) [/ matemáticas], y
2. [matemática] f (cx) = cf (x) [/ matemática] para cualquier constante [matemática] c [/ matemática]

Esta es la explicación de linealidad de secundaria / pregrado de linealidad, donde [matemática] x, y, [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] son ​​números reales (o complejos), y la salida de la función también es un número real (o complejo)

Tiene razón en que una función de la forma [matemática] f (x) = mx + b [/ matemática] no cumple esta condición y, por lo tanto, no es una función lineal , a pesar de que el gráfico 2D de la función es geométricamente Una línea recta. Como otros han dicho, dicha función se llama afín en lugar de lineal .

Cuando la entrada y la salida de una función son números reales, las funciones lineales no son muy interesantes: todas toman la forma [math] f (x) = mx [/ math], donde [math] m [/ math] es algo Real constante. Si ampliamos la idea de linealidad a funciones que actúan sobre objetos matemáticos más complicados como vectores o tensores, entonces las funciones lineales se vuelven mucho menos aburridas. Por ejemplo, la extensión a operadores lineales, que asignan funciones a otras funciones (en lugar de números a otros números), juega un papel muy importante en las ecuaciones diferenciales y conduce al concepto de una ecuación diferencial lineal.

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Tl; dr: el punto principal es que hay una diferencia entre el concepto geométrico de una línea y el concepto analítico de una función lineal. Están poco relacionados por el hecho de que la gráfica de una función lineal es una línea, pero lo contrario no es necesariamente cierto; Una función cuyo gráfico es una línea no es necesariamente una función lineal.

No olvides que una función no es igual a su gráfica. Los gráficos son a veces una representación útil de una función que puede darle una sensación intuitiva de su comportamiento, pero equiparar los dos es un error. Demonios, hay un número infinito de funciones que no se pueden graficar, incluso en principio.

Answer 2

La propiedad de linealidad hace que una ecuación sea lineal. Decimos que una función [matemática] f (x) [/ matemática] es lineal si satisface las dos condiciones de linealidad que son

1. [matemáticas] f (x + y) = f (x) + f (y) [/ matemáticas]
2. [matemáticas] f (ax) = a * f (x) [/ matemáticas] para un escalar a

Tiene razón cuando dice que [matemática] y = mx + c [/ matemática] no es lineal porque no satisface la condición de linealidad. Es afín que es una combinación de lineal y constante.

Pero, supongo que podría estar enfrentando la dificultad porque en cálculo [matemática] y = mx + c [/ matemática] se considera lineal porque su orden es 1, es decir, es lineal en términos de x. Pero, en álgebra lineal, la función no es lineal, allí tenemos una definición algo diferente de función lineal.

Espero que la confusión haya terminado.

Answer 3

Puedo simplificar demasiado su pregunta al decir esto (y corríjame si me equivoco), pero una ecuación lineal es aquella en la que, si conecta todas las coordenadas, formará una línea recta. Esto significa que hay una relación lineal entre cada coordenada.

La ecuación general para todas las ecuaciones lineales es:

y = mx + b, donde m es el gradiente y b es una constante.

De su pregunta, creo que está confundiendo el + b como término. Por ejemplo, si y = 4x + x ^ 2. En este ejemplo, al cambiar el valor de x, x ^ 2 será diferente, de modo que el gráfico no será lineal.

Sin embargo, con ecuaciones lineales, el valor de b nunca cambiará (ya que es una constante). A pesar de cambiar x, la relación seguirá siendo la misma. Cambiar b solo desplazará el gráfico hacia arriba o hacia abajo (pero seguirá siendo una línea recta).

Por ejemplo, y = 3x + 4 es solo el gráfico y = 3x, pero desplazado hacia arriba 4 unidades. Del mismo modo, y = 3x + 9 sería la gráfica de y = 3x + 4 desplazado hacia arriba 5 unidades.

Para resumir, como b es constante, simplemente agrega el valor de b al valor de y que ha determinado en función del coeficiente multiplicado por cada valor de x (mx).

Answer 4

Hay dos definiciones de lineal.

En una clase de cálculo, por ejemplo, f (x) = mx + b se llama lineal.

En una clase de álgebra lineal, podríamos llamar afín a la misma función f (x) = mx + b, restringiendo la palabra lineal a la función f (x) = mx.

No hay ningún daño al variar el uso del vocabulario de esta manera porque generalmente es bastante claro por contexto lo que significa.

Answer 5

Se dice que una expresión o ecuación es lineal en alguna variable, generalmente x, es decir, la mayor potencia de x que aparece en la ecuación es 1. Entonces, por ejemplo, [matemática] a ^ 2x + b [/ matemática] es lineal en x y b pero no lineal en a.

Answer 6

Lo que hace que las ecuaciones lineales sean lineales es el poder de x. Si es uno, probablemente la ecuación sea lineal porque solo tiene 1 solución. + b solo cambia la intersección en y de la gráfica. + b desplazará el gráfico hacia arriba y -b lo desplazará hacia abajo.

Answer 7

No, el + b simplemente aleja la línea del origen. Sigue siendo una línea recta.